一个很屑的盒子

终极L

 

我

让我们\三角洲变得超级紧凑。我们关心的基本问题是 中是否存在类超紧L内模型。N\子集 V\三角洲氮

当然，答案的形式取决于我们所说的“ L-like”的含义。有几种可能的方法可以使这变得不平凡。这里，我们只采用非常一般的要求，即\三角洲in的超紧性氮应该“直接追溯到”它的超紧性V。

记起：

我们用{\mathcal P}_\delta(X)来表示集合\{a\subseteq X\mid |a|<\delta\}。

如果我们拥有的话{\数学U}，打开超滤器（或测量装置）{\mathcal P}_\delta(\lambda)就可以了。\阿尔法<\拉姆达\{a\in{\mathcal P}_\delta(\lambda)\mid \alpha\in a\}\in{\mathcal U}

超滤器{\数学U}是正常的当且仅当它是\三角洲- 完全的并且对于所有F:{\mathcal P}_\delta(\lambda)\to\lambda，如果F是回归{\数学U}-ae （即，如果\{a\mid F(a)\in a\}\in{\mathcal U}）则F是常数{\数学U}-ae，即，存在\阿尔法<\拉姆达这样的\{a\mid F(a)=\alpha\}\in{\mathcal U}。

\三角洲是超紧凑的，当且仅当对 上λ有一个正常的精细测量。{\数学U}{\mathcal P}_\delta(\lambda)

这是一个\三角洲超紧凑的标准结果，当且仅当存在、和（或等效地，）λ的基本嵌入。j:V\到 M{\rm cp}(j)=\deltaj(\delta)>\lambdaj''\lambda\in M{}^\lambda M\subseteq M

事实上，给定这样一个嵌入j，我们可以定义一个正常的{\数学U}罚款{\mathcal P}_\delta(\lambda)

A\in{\数学 U}当且仅当j''\lambda\in j(A)。

{\数学U}相反，给定上的正常精细超滤器{\mathcal P}_\delta(\lambda)，由 生成的超功率嵌入{\数学U}就是此类嵌入的一个示例j。此外，如果{\mathcal U}_j是超滤器 on ，{\mathcal P}_\delta(\lambda)如上所述j，则{\mathcal U}_j={\mathcal U}。

Magidor 发现了超紧性的另一个特征，它将在这些讲座中发挥关键作用；在这个重新表述中，不是临界点，而是\三角洲所考虑的嵌入的临界点的图像。这个版本似乎被理想地设计为用作构建超紧凑性扩展模型的指南，尽管最近的结果表明这实际上是一个转移注意力的事情。

我们将研究的关键概念如下：

定义。 N\子集 V是` \三角洲is supercompact'的弱扩展模型，当且仅当对于所有情况\lambda>\delta都存在正常{\数学U}罚款{\mathcal P}_\delta(\lambda)：

{\mathcal P}_\delta(\lambda)\cap N\in {\mathcal U}， 和

{\mathcal U}\cap N\in N。

这个定义将\三角洲in的超紧性氮直接与 中的超紧性结合起来V。在手稿中，这氮是“超紧凑”的弱扩展模型，\三角洲用 表示o^N_{\rm 长}(\delta)=\infty。请注意，这确实是一个弱概念，因为我们不需要N=L[\vec E]某些（长）\vec E扩展序列。我们的想法是研究氮这个概念的基本属性，希望更好地理解如何L[\vec E]实际构建这样的模型。

例如， 的精细度{\数学U}已经意味着满足覆盖氮的一个版本：如果和，则存在一个with 。但事实上，覆盖的一个明显更强的版本是成立的。为了证明这一点，我们首先需要回忆一下 Solovay 的一个很好的结果，他用它来证明了在超紧凑之上成立。A\子集\lambda|A|<\deltaB\in{\mathcal P}_{\delta}(\lambda)\cap NA\子集B{\sf SCH}

索洛维引理。 保持\lambda>\delta规律吧。然后有一个集合X，其属性是该函数f:a\mapsto\sup(a)在 上单射X，并且对于{\数学U}上的任何正常精细测度{\mathcal P}_\delta(\lambda)，X\in{\数学 U}。

从索洛维引理可以得出，任何此类都{\数学U}等价于序数的测度。

证明。设\vec S=\left< S_\alpha\mid\alpha<\lambda\right>为 的划分S^\lambda_\omega为平稳集。

（我们也可以使用S^\lambda_{\le\gamma}任何固定的\gamma<\delta。回想一下

S^\lambda_{\le\gamma}=\{\alpha<\lambda\mid{\rm cf}(\alpha)\le\gamma\}

对于S^\lambda_\gamma=S^\lambda_{=\gamma}和 也类似S^\lambda_{<\gamma}。）

Solovay 的一个众所周知的结果是这种分区的存在。

休实际上给出了这个事实的疯狂证明的快速草图：否则，尝试产生这样的分区应该会失败，因此我们可以在 上获得一个易于定义的完全超 λ滤器。事实上，可定义性确保了矛盾。在第三讲中我们将遇到类似的可定义分裂论证。{\数学V}λ{\mathcal V}\in V^\lambda/{\mathcal V}

让X包括那些a\in{\mathcal P}_\delta(\lambda)，令β=sup(a)，我们有{\rm cf}(\beta)>\omega，并且

a=\{\alpha<\beta\mid S_\alpha\cap\beta是静止的\测试版\}.

那么F是 1-1 X，因为根据定义，任何都可以从和一个\在X中重构。需要争论的是，对于上的任何正常的精细测量。（这表明要定义-measure 1 集，我们只需要将 划分为平稳集。）\vec S\sup(a)X\in{\数学 U}{\数学U}{\mathcal P}_\delta(\lambda){\数学U}\vec SS^\lambda_\omega

让j:V\到 M是 由 生成的超幂嵌入{\数学U}，所以

{\mathcal U}=\{A\in{\mathcal P}_\delta(\lambda)\mid j''\lambda\in j(A)\}。

我们需要验证一下j''\lambda\in j(X)。首先，请注意j''\lambda\in M。让\tau=\sup(j''\lambda)，我们就有了M\models{\rm cf}(\tau)=\lambda。自从

M\models j(\lambda)\ge\tau是有规律的，

由此可见\tau<j(\lambda)。让\left<T_\beta\mid\beta<j(\lambda)\right>=j(\left<S_\alpha\mid\alpha<\lambda\right>). 在 中中号，T_\beta划分S^{j(\lambda)}_\omega为平稳集。让

A=\{\beta<\tau\mid M\models T_\beta\cap\tau\mbox{\ 是静止的}\}。

重点是A=j''\lambda。

为了证明这一点，首先注意{}^\lambda M\subseteq M和j''\拉姆达是 的一个欧米伽-club \tau，因为在点j上连续{\rm cof}(\omega)。因此，对于\alpha<\lambda,我们所拥有的一切j(S_\alpha)\cap\tau\supseteq j''S_\alpha，它j(S_\alpha)在 中是静止的\tau。因此A\supseteq j''\lambda。

从那时j''\lambda\in M起\{T_{j(\alpha)}\mid\alpha<\lambda\}=\{j(S_\alpha)\mid\alpha<\lambda\}\in M。但是\bigcup\{j(S_\alpha)\colon\alpha<\lambda\}\supseteq j''\lambda\cap{\rm cof}(\omega)，这是一个欧米伽俱乐部。由此可见，没有其他人T_\beta可以\tau静止地见面。所以A=j''\lambda，这就完成了证明。\盒子

索洛维引理表明，也许可以L[\vec E]通过在序数上使用超过滤器来见证超紧性，以比预期更简单的方式构建超紧性模型。

我们对引理的关键应用如下（休指出，在索洛维引理建立后很容易发现这一点）：

推论。 假设氮“is supercompact”是一个弱扩展模型\三角洲。假设\gamma>\delta是单基数。然后：

\伽玛是单数的氮。

(\gamma^+)^N=\gamma^+。

请注意，第 1 项是直接覆盖 if 的{\rm cf}(\gamma)<\delta，但否则需要不同的参数。第 2 项是 的一个非常L类似的属性氮。目前尚不清楚在何种程度上存在不可忽略的（在某种意义上）基数类别，可以氮正确计算其共尾性。

证明。这是直接从索洛维引理得出的。1. 和 2. 均来自：

*如果\lambda>\delta是正氮则的话{\rm cf}^V(\lambda)=|\lambda|^V。

(*\右箭头 1。)如果\gamma>\delta是奇异的，但在 中是规则的氮，那么{\rm cf}^V(\gamma)=|\gamma|^V，但是这是不可能的，因为\伽玛是奇异的。

(*\右箭头 2。)如果\gamma>\delta是单数，但(\gamma^+)^N<\gamma^+，则{\rm cf}^V((\gamma^+)^N)=|\gamma|^V，与 that 相矛盾\伽玛也是单数。

这还有待建立*。为此，我们在 中氮使用 Solovay 引理。

令为和上的{\数学U}普通精细超滤器。请注意，即使不是 中的基数，也存在这样的情况：只需在 中选择一个较大的常规基数，并投影适当的度量。{\mathcal P}_\delta(\lambda){\mathcal U}\cap N\in NN\cap{\mathcal P}_\delta(\lambda)\in{\mathcal U}{\数学U}λVV

根据索洛维引理，X\in{\mathcal U}\cap N上a\mapsto\sup(a)有 1-1 X。假设{\rm cf}^V(\lambda)<|\lambda|^V. 在 中V，设C\subseteq\lambda为 俱乐部，{}|C|={\rm cf}^V(\lambda)。继而\{a\in X\mid\sup(a)\in C\}\in{\mathcal U}自\sup(j''\lambda)\in j(C)为j超功率嵌入所诱发{\数学U}。然而，如果Y=\{a\in X\mid\sup(a)\in C\}，则{}|Y|={\rm cf}^V(\lambda)<|\lambda|^Vwhile \lambda\subseteq\bigcup Y，按精细度。矛盾。\盒子

由此可见，如果\三角洲是超紧的，V并且在强制扩张中，a V-正则在对升力中的\gamma>\delta所有元素进行测量时变成单数（因此，特别是，在扩张中保留了 的超紧性），则不再是扩张中的基数。{\mathcal P}_\delta(\lambda)V\三角洲\伽玛

我们得出一个关键概念。假设内部模型中号是通用的，当且仅当（足够）大基数相对化为中号。推论似乎表明超紧性的弱扩展模型应该是通用的，因此解决超紧性的内部模型问题本质上解决了所有大基数的问题。事实上，我们有：

普遍性定理。假设氮“is supercompact”是一个弱扩展模型\三角洲。假设\gamma>\delta,\pi:N\cap V_{\gamma+1}\到 N\cap V_{\pi(\gamma)+1}是初等的，并且{\rm cp}(\pi)\ge\delta. 然后\pi\in N。

我们将在下一讲中给出证明。简而言之：任何与临界点相一致氮且具有大临界点的扩展器都在 中氮。要了解为什么这是一个普遍性结果，请注意，例如，如果 中V存在一个适当的k-huge 基数类（对于所有k<\omega），则 中 中也存在这样一个类氮。将此与内部模型理论中的传统情况进行对比，其中大基数概念的内部模型不捕获任何更大的概念。（类似的结果适用于排名嵌入和更大的排名，尽管这里需要一些额外的想法。）

从某种意义上说，普遍性定理说这氮必须是刚性的。这在字面上并不正确，但在适当的意义上， 不能有升号氮：

推论。 假设氮是“is supercompact”的扩展模型\三角洲。然后就没有j:N\到 N了{\rm cp}(j)\ge\delta。

证明。否则，根据普遍性定理，j服从。氮但这样一来N\模型\存在 i:N\to N，就与库南定理相矛盾了。\盒子

（这是另一个继承K的类似功能氮。）请注意对 的限制{\rm cp}(j)\ge\delta。这是无法删除的：

例子。假设\三角洲是超紧且\delta_0<\delta可测的。令{\数学U}为 的正常测量\delta_0，令M_\欧米茄为欧米伽超幂嵌入的第 次迭代j:V\to M_0\cong V^{\delta_0}/{\mathcal U}。然后：

M_\欧米茄\三角洲是“ is supercompact”的弱扩展模型。

j(M_\omega)=M_\omega{\rm cp}(j)\ge\delta，所以我们不能在推论中删除“ ”。

让N=M_\omega[\left<\delta_i\mid i<\omega\right>]where\left<\delta_i\mid i<\omega\right>是关键序列（\delta_{i+1}=j(\delta_i)对于所有人我）。那么 的第-th 次迭代在N=\bigcap_i M_i哪里。接下来是在-sequences下关闭的。由于是小强迫（Prikry 强迫）的强迫扩展，因此也是“超紧”的弱扩展模型，并且也很明显。因此，即使我们需要某种形式的强闭包，“ ”也不能从推论中删除。米我我j氮\delta_0氮M_\欧米茄氮\三角洲j(N)=N{\rm cp}(j)\ge\delta氮

我们现在可以陈述一个关键的二分结果，其证明将在第三讲中进行。

定义。 \三角洲是可扩展的，如果对于所有\α存在j:V_{\delta+\alpha+1}\到 V_{j(\delta)+j(\alpha)+1}和。{\rm cp}(j)=\deltaj(\delta)>\alpha

引理。 假设\三角洲是可扩展的。以下是等效的：

{\sf HOD}\三角洲是“ is supercompact”的弱扩展模型。

存在不可测量\gamma>\delta的正则。{\sf HOD}

有\gamma>\delta这样一个(\gamma^+)^{\sf HOD}=\gamma^+。

请注意，这确实是一个二分结果：在存在可扩展基数的情况下，要么{\sf HOD}非常接近V，要么非常远。

推测。如果\三角洲是可扩展的，则{\sf HOD}是“是超紧凑”的扩展模型\三角洲。

让我们简要描述一下二分引理的证明。请注意，我们已经有了第 2. 和 3. 项，它们都来自 1. 为了证明(2.\右箭头 1。)，给定\伽玛，我们考虑欧米伽上的 -club 过滤器\伽玛，并尝试将 中的静态集{\sf HOD}分成。如果失败，我们将得到可衡量的结果。假设 2.，这意味着我们成功了，我们将使用平稳集来验证 上的正常精细测量是否被吸收到 中。那么可扩展性将为我们提供一个适当的类，第 1 项如下。S^\gamma_\omegaV\伽玛{\sf HOD}{\mathcal P}_\delta(\lambda){\sf HOD}\伽玛

普遍性定理。 如果氮是 的弱扩展模型\mbox{`}\delta是超紧'，并且\pi:N\cap V_{\gamma+1}\到 N\cap V_{\pi(\gamma)+1}是基本的{\rm cp}(\pi)\ge\delta，则\pi\in N。

如前所述，这使我们氮从 中吸收了大量的力量V。例如：

引理。 假设它\kappa是 2-巨大。然后，对于每个A\subseteq V_\kappa, (V_\kappa,\in,A)\模型都有一个由一致的嵌入见证的适当类别的巨大基数A。\盒子

因此，如果A=N\cap V_\kappa和\kappa>\delta，那么

N\cap V_\kappa\模型有一个适当的大红衣主教类别。

在这里，连贯性的含义如下：当且仅当，让，我们有和时，j:V\到 M连贯一个集合A。事实上，我们需要的要少得多。我们需要像和 一样的东西，对于巨大来说，已经足够了。\gamma={\rm cp}(j)V_{j(j(\gamma))+\omega}\subseteq Mj(A)\cap V_{j(j(\gamma))+\omega}=A\cap V_{j(j(\gamma))+\omega}j''j(\gamma)\in MV_{j(j(\gamma))+1}\subseteq M

这种方法打破了过去的欧米伽巨大性。然后我们需要改变连贯性的概念，因为（例如，以 开头j:L(V_\lambda)\到 L(V_\lambda)）“拥有”\pi:N\cap V_{\lambda+1}\到 N\cap V_{\pi(\lambda)+1}不再是一个合理的条件。但适当的修改在这个非常高的水平上仍然有效。

普遍性定理的证明建立在扩展器方面对超紧性的重新表述之上，归因于 Magidor：

定理（马吉多尔）。 以下是等效的：

\三角洲是超紧凑的。

对于 all\gamma>\delta和 all a\in V_\gamma，存在\bar\delta<\bar\gamma<\delta和\bar a\in V_{\bar\gamma}，以及一个基本的\pi:V_{\bar\gamma+1}\到 V_{\gamma+1}使得：

\bar\delta={\rm cp}(\pi)和\pi(\bar\delta)=\delta。

\pi(\bar\gamma)=\gamma和\pi(\bar a)=a。

这个证明实际上是一个简单的反思论证。

证明。 (1.\右箭头 2.)假设第 2. 项失败，正如 所见证的那样\gamma,a。{\数学U}在{\mathcal P}_\delta(\lambda)哪里选择正常罚款\lambda=|V_{\gamma+1}|，并考虑

j:V\to M\cong V^{{\mathcal P}_\delta(\lambda)}/{\mathcal U}。

然后{\rm cp}(j)=\delta、j(\delta)>\lambda、 和{}^\lambda M\subseteq M。但是{}^{V_{\gamma+1}}M\subseteq M，从基本角度来看， 和j(\gamma),j(a)是中号关于 的第 2. 项的反例j(\delta)。然而，j\upharpoonright V_{\gamma+1}\in M，它见证了中号关于j(\gamma),j(a)的第 2 项j(\delta)。矛盾。

(2.\右箭头 1。)假设第 2 项。对于任何一项，我们需要在 上\lambda>\delta找到正常罚款。修复，并让和。设为第 2 项中的嵌入。用于定义正常罚款{\数学U}{\mathcal P}_\delta(\lambda)λ\gamma=\lambda+\omegaa=\lambda\pi:V_{\bar\gamma+1}\到 V_{\gamma+1}\gamma,a\pi\bar{\数学U}{\mathcal P}_{\bar\delta}(\bar\lambda)

A\in\bar{\mathcal U}当且仅当\pi''\bar\lambda\in\pi(A)。

请注意\pi''\bar\lambda\in V_{\lambda+1}\in V_{\gamma+1}，所以这个定义是有道理的。进一步，{\mathcal P}({\mathcal P}_{\bar\delta}(\bar\lambda))\in V_{\bar\lambda+2}\in V_{\bar\delta+1}，所以\bar{\mathcal U}\in V_{\bar\gamma+1}。因此，\bar{\数学U}是 在 的范围内\pi，并且\pi(\bar{\mathcal U})={\mathcal U}是所需要的。\盒子

正如上一讲中提到的，人们一度预计 Magidor 的重新表述将成为构建超紧内部模型的关键，因为它表明需要将哪些扩展器放入其序列中。最近的结果表明，施工应该直接使用源自正常精细措施的扩展器进行。然而，Magidor 的重新表述对于弱扩展模型理论非常有用，这要归功于以下事实，这可以被视为对这种重新表述的加强：

引理。假设氮“is supercompact”是一个弱扩展模型\三角洲。假设\gamma>\delta和a\in V_\gamma。然后有\bar\delta、\bara、\bar\gamma和V_{\delta}一个初等\pi:V_{\bar\gamma+1}\到 V_{\gamma+1}：

{\rm cp}(\pi)=\bar\delta、\pi(\bar\delta)=\delta、\pi(\bar\gamma)=\gamma、 和\pi(\bar a)=a。

\pi(N\cap V_{\bar\gamma})=N\cap V_\gamma。

\pi\upharpoonright(N\cap V_{\bar\gamma+1})\in N。

同样，证明是马吉多定理中的反射论证，但我们需要更加努力地确保第 2 条和第 3 条。关键是：

宣称。 假设\lambda>\delta. 然后是正常的{\数学U}罚款{\mathcal P}_\delta(V_\lambda)

\{x\in{\mathcal P}_\delta(V_\lambda)\mid的传递崩溃X\大写N  是N\cap V_{\bar\lambda}，\bar\lambda的传递崩溃在哪里X\cap\lambda\}\in{\mathcal U}。

证明。我们可以假设{}|V_\lambda|=\lambda和 这也适用于氮。在 中，在和之间氮选择一个双射，然后用和求。\rhoλN\cap V_\lambda{\mathcal U}^*{\mathcal P}_\delta(\lambda){\mathcal U}^*\cap N\in N{\mathcal P}_\delta(\lambda)\cap N\in{\mathcal U}^*

检查一下就足够了

(*) \{X\subseteq\lambda\mid的传递崩溃\rho[X]是 的一个等级初始段N\}\in{\mathcal U}^*。

一旦我们有了(*)，就可以很容易地使用λ和之间的双射V_\lambda来获得所需的度量{\数学U}。

为了证明(*)，在 中工作氮，并注意结果现在是微不足道的，因为，让为由toj的限制引起的超幂嵌入，我们有折叠到，这是 的初始部分。{\mathcal U}^*氮j''V_\lambdaV_\lambdaV\盒子

引理的证明。现在的论证是使用刚刚建立的断言对马吉多定理证明的直接阐述。(1.\右箭头2.)即，在定理的证明中，使用{\数学U}权利要求中的超滤器。V_{\伽玛+1}我们需要看到超幂嵌入（的限制）j满足j(N\cap V_{\bar\gamma})=N\cap V_\gamma。我们从比这样λ大得多的开始，并修复这样的集合，以及一个双射，这样的双射是和之间的双射。\伽玛\lambda=|V_\lambda|A,B\in N\cap{\mathcal P}(\lambda)|A|=|B|=\lambda\rho:\lambda\ 到 V_\lambda\rho\upharpoonright AAN\cap V_\lambda\rho\upharpoonright A\in N

我们用来\rho转移到专注于的{\数学U}措施。现在让我们成为超能力嵌入。我们需要检查一下。问题是，原则上，可能会溢出并且规模更大。然而，由于集中于，这是不可能的，因为传递折叠在 、 和 中以相同的方式计算，尽管可能与 不同。{\mathcal U}^*{\mathcal P}_\delta(A)氮j:V\to M\cong V^{{\mathcal P}_\delta(A)}/{\mathcal U}^*j(N)\cap V_\lambda=N\cap V_\lambdaj(N)\cap V_\lambda{\mathcal U}^*氮中号氮V(N^{{\mathcal P}_\delta(A)}/{\mathcal U}^*)^N(N^{{\mathcal P}_\delta(A)}/{\mathcal U}^*)^V\盒子

我们已经准备好了本次讲座的主要结果。

普遍性定理的证明。我们实际上将为所有红衣主教证明这一点\gamma>\delta，如果

\pi:(H(\gamma^+))^N\to(H(\pi(\gamma)^+))^N

是初等的，并且{\rm cp}(\pi)\ge\delta，然后\pi\in N.

这通过一些编码给出了如上所述的结果。

选择λ远大于\伽玛和 让a=(\pi,\gamma)。应用强化的 Magidor 重构，获得\bar a=(\bar\pi,\bar\gamma)、\bar\lambda、 、\bar\delta和 嵌入

\sigma:V_{\bar\lambda+1}\到 V_{\lambda+1}

与{\rm cp}(\sigma)=\bar\delta、\sigma(\bar\delta)=\delta、\sigma(\bar\pi)=\pi、 和\sigma(\bar\gamma)=\gamma。

请注意\bar\pi: H(\bar\gamma^+)^N\to H(\bar \pi(\bar \gamma)^+)^N。

足以证明\bar\pi\in N、自从\sigma\upharpoonright (V_{\bar\lambda+1}\cap N)\in N、等等\pi=\sigma(\bar\pi)\in N。

为此，我们实际上只需要证明，因为的\bar\pi\upharpoonright({\mathcal P}(\bar\gamma)\cap N)\in N片段完全确定。当然，优点是更容易分析序数集。\pi\upharpoonright({\mathcal P}(\gamma)\cap N)\pi\pi

让a\subseteq\bar\gamma与一个 \in N，让\alpha\in\pi(\bar\gamma)。我们需要计算氮是否\alpha\in\bar\pi(a)。为此，请注意

\alpha\in\bar\pi(a)当且仅当\sigma(\alpha)\in\sigma(\bar\pi(a))。

现在，\sigma(\bar\pi)=\pi，因此这简化为\sigma(\alpha)\in\pi(\sigma(a))，即计算\pi，只需知道\pi\upharpoonright{\rm 跑}(\sigma)。

回想一下\sigma\upharpoonright N\cap V_{\bar\lambda+1}\in N，并考虑一下\sigma_0=\sigma\upharpoonright H(\bar\gamma^+)^N。请注意\sigma_0\in H(\gamma^+)^N， 和\sigma_0:H(\bar\gamma^+)^N\到 H(\gamma^+)^N。应用于\pi，\sigma_0并使用基本原理，我们有

\pi(\sigma_0):\pi(H(\bar\gamma^+)^N)\to\pi(H(\gamma^+)^N)。

但\pi(H(\bar\gamma^+)^N)=H(\bar\gamma^+)^N,因为{\rm cp}(\pi)\ge\delta，同时\pi(H(\gamma^+)^N)=H(\pi(\gamma)^+)^N。

由此可见\pi(\sigma(a))=\pi(\sigma_0)(\pi(a))=\pi(\sigma_0)(a)。由于\sigma_0\in {\rm dom}(\pi)，我们已经\pi(\sigma_0)\in N（只需记下 的范围\pi），我们就完成了，因为我们已经将是否的问题简化\alpha\in\bar \pi(a)为是否 的问题\sigma(\alpha)\in\pi(\sigma_0)(a)，从而氮可以确定。\盒子

L[\vec E]请注意普遍性定理如何表明使用 Magidor 重构模型构建超紧模型会遇到困难；也就是说，如果\三角洲是超紧凑的，我们有许多F具有临界点 的扩展器，\kappa_F<\delta并且\pi_F(\kappa_F)=\delta我们现在正在生产上面的新扩展器\三角洲，这也应该以某种方式计入 中\vec E。

{\sf HOD}普适性的一个很好的应用是上一讲末尾提到的二分定理。如果{\sf HOD}是超紧性的弱扩展模型，我们得到以下结果：

推论。 不存在{\sf HOD}\to_{j_0}{\sf HOD}\to_{j_1}{\sf HOD}\to_{j_2}\点具有有充分依据的限制的（非平凡）基本嵌入序列。\盒子

由此可见，存在一个\西格玛_2可定义的序数，使得固定该序数的任何嵌入都是恒等！这是因为序数的- 理论在哪里{\sf HOD}=L[T]。时间\西格玛_2V

特别是，没有j:({\sf HOD},T)\to({\sf HOD},T). {\sf HOD}请注意，如果用任意弱扩展模型替换，则推论和该事实将失败。

j:{\sf HOD}\至{\sf HOD}在某种意义上是否真的可以存在嵌入的问题仍然悬而未决，即，其一致性目前仅根据{\sf ZF}存在非常强版本的莱因哈特基数的假设来建立，即嵌入的强版本j:V\到 V，其一致性本身就有问题。

（另一方面，Hugh 已经证明不存在嵌入j:V\to{\sf HOD}，这可以通过 Hugh 对 Kunen 定理的证明的一个简单变体来建立，例如在 Kanamori 的书（定理 23.12 的第二个证明）中提出的。）

定理。 假设氮“is supercompact”是一个弱扩展模型\三角洲。如果\pi:H(\gamma^+)^N\到 H(\pi(\gamma)^+)^N是初等的，与{\rm cp}(\pi)\ge\delta和\gamma>\delta，则\pi\in N。

更一般的版本成立，甚至可以直接从上一讲的论证中获得。

例如，假设它\三角洲是超紧凑的并且\kappa>\delta非常难以访问。让{\数学U}是一个正常的精细测量{\mathcal P}_{\delta}(\kappa)，让A\in{\数学 U}并考虑N=L[A,{\mathcal U}]\cap V_\kappa。然后，在 中V_\kappa，氮是“is supercompact”的弱扩展模型\三角洲。这种结构通常会“反转”人们以前可能做过的所有强制结构，同时基本上吸收了 中的所有大基数V_\kappa。福尔曼对这种结构进行了一些详细的研究。

问题。 让其\三角洲具有可扩展性。是{\sf HOD}“超紧凑”的弱扩展模型吗\三角洲？

推测。情况确实如此。

为了激发这一猜想，我们认为反驳它必须使用与我们目前掌握的技术完全不同的技术。（一个密切相关的事实是，如果\三角洲是可扩展的，那么它是{\sf HOD}-supercompact （即，对于所有都λ存在嵌入的λ-supercompactness ）。Sargsyan 已经验证在这种情况下不能用 supercompact 替换可扩展。）j:V\到 Mj({\sf HOD}\cap V_\lambda)={\sf HOD}\cap V_\lambda

引理。假设有一个伍丁红衣主教的真类，并且每组{\sf 外径}都是A\subseteq {\mathbb R}普遍的贝尔。那么\欧米茄-猜想成立{\sf HOD}。 \盒子

这可以被视为该猜想的证据，因为该\欧米茄猜想在所有已知的扩展器模型中都成立。此外，引理证明，如果猜想成立，那么大基数就不能反驳 猜想\欧米茄。

定义。 假设\伽玛>\欧米伽是有规律的。说在\伽玛 i中是欧米伽-强烈可测量的{\sf HOD}ff 存在\lambda<\伽玛，(2^\lambda)^{\sf HOD}<\gamma其中 没有 划分\left<S_\alpha\mid\alpha<\lambda\right>\in{\sf HOD}为(S^\gamma_\omega)^V中静止的集合V。

欧米伽在 中 强可测量是对{\sf HOD}的强烈要求\伽玛：在这种情况下，我们可以执行以下过程：从 开始S=(S^\gamma_\omega)^V。在 中{\sf HOD}，构造一个分裂二叉树，S如下所示： 分裂S成两个V平稳集，{\sf HOD}如果可能的话，都在 中。然后，考虑这两个集合，如果可能，将每个V集合分成 中的两个平稳集合{\sf HOD}，并继续这种方式，{\sf HOD}在极限阶段沿分支 (in ) 求交集。请注意，即使它指的是真正的平稳性，该构造也是 in {\sf HOD}，因为这可以{\sf HOD}通过在每个阶段引用-club 子集{\sf OD}_A的 -filter中的成员资格来表示（对于欧米伽A\子集 SA我们试图在构造中的给定点分割平稳集）。

假设施工λ分阶段进行。由于(2^\lambda)^{\sf HOD}<\gamma，施工不可能停止，因为在极限阶段我们没有看到足够的分支。因此，我们必须停在后继阶段，并且这必须沿着树的每条路径发生。因此，我们分成S^\gamma_\omega了少量的固定集，所有这些固定集都带有 ，{\sf HOD}， ，\伽玛完全超滤器（即 -club 过滤器的限制欧米伽）。\伽玛这是见证 的可测量性的一种非常有力的方式{\sf HOD}，并且很难通过强制来模拟这个结果。

{\sf HOD}-推测。存在一类适当的基数\伽玛，它们在 中是正则的V，并且在 中不是 欧米伽强可测的{\sf HOD}。

这是一个非常合理的猜想：

目前尚不清楚是否可以有超过 3 个基数欧米伽在 中是强可测的{\sf HOD}。

目前尚不清楚不可数共尾性的单数后继者是否可以欧米伽在 中强可测{\sf HOD}。

目前尚不清楚超紧之上是否存在任何欧米伽在 中强可测的基数{\sf HOD}。

最重要的信息是，超紧之上的无限组合学是困难的，因为超紧性极其脆弱。

定理。 假设它\三角洲是可扩展的。那么以下是等价的：

{\sf HOD}\三角洲是“ is supercompact”的弱扩展模型。

有一些在 中\gamma>\delta是不可强烈测量的。欧米伽{\sf HOD}

因此，如果第 2 项失败，则每个正则都\gamma>\delta可以在 中测量{\sf HOD}，特别(\lambda^+)^{\sf HOD}<\lambda^+是对于任何\lambda\ge\delta。

如前所述，第2项失败有一种情况：如果有非常强大的莱因哈特红雀版本，则可以强制结束{\sf ZF}。V但这确实应该被理解为反驳莱因哈特基数存在的场景{\sf ZF}，至少在存在额外的强大基数假设的情况下。

证明。 (1.\右箭头2.)我们已经知道这一点，因为在第一讲的推论中，我们看到第 1 项意味着{\sf HOD}正确地计算了一些后继。

(2.\右箭头1。)这里我们需要使用可扩展性。让我们\gamma_0成为主要见证项目2。

宣称。 对于所有的，\alpha>\delta都有一个\伽玛>\阿尔法和 的一个划分\vec T=\left<T_\eta\mid\eta<\alpha\right>\in {\sf HOD}为S^\gamma_\alpha固定集。

证明。修复\α。请注意，对于所有的情况，都有\lambda<\delta一个划分{\sf HOD}为许多固定集。由于是可扩展的，我们可以找到一个嵌入S^{\gamma_0}_\omegaλ\三角洲

\pi:V_{\delta+\theta+1}\到 V_{\pi(\delta)+\pi(\theta)+1}远大于、、和（例如θ，我们可以选择）。\α{\rm cp}(\pi)=\delta\pi(\delta)>\alpha{\sf HOD}^{V_\theta}={\sf HOD}\cap V_\thetaθV_\theta\prec_{\Sigma_3}V

自从

V_\theta\models\gamma_0不是欧米伽- 强可测量的{\sf HOD}，

然后

V_{\pi(\theta)}\models\pi(\gamma_0)在 中不是欧米伽-强可测量的\pi({\sf HOD})。

但是\pi({\sf HOD}^{V_{\theta}})=\pi({\sf HOD}\cap V_\theta)=\pi({\sf HOD})\cap V_{\pi(\ θ)}={\sf HOD}^{V_{\pi(\theta)}}和{\sf HOD}^{V_{\pi(\theta)}}\subseteq{\sf HOD}\cap V_{\pi(\theta)}。

这给了我们想要的结果。\盒子

修复θ>δ与V_\theta\prec_{\Sigma_{10000}}V. 然后{\sf HOD}^{V_\theta}={\sf HOD}\cap V_\theta。选择一个基本\pi:V_\theta\到 V_{\pi(\theta)}的{\rm cp}(\pi)=\delta, \pi(\delta)>\theta。请注意\pi({\sf HOD}\cap V_\theta)={\sf HOD}^{V_{\pi(\theta)}}。

宣称。 对于所有人来说\lambda<\theta，\pi''\lambda\in {\sf HOD}^{V_{\pi(\theta)}}.

\lambda<\theta因为对于我们所拥有的一切\pi''{\sf HOD}\cap V_\lambda\in{\sf HOD}^{V_{\pi(\theta)}}，可以得出以下结论：V_\theta\models{\sf HOD}“是超紧凑”的弱扩展模型\三角洲。

证明。类似于第一讲中索洛维引理的证明。修复λ并选择一个正则\gamma>\lambda，\伽马<\θ并将 划分\left<T_\beta\mid\beta<\lambda\right>\in{\sf HOD}^{V_\theta}为S^\gamma_\omega平稳集。

让\gamma^*=\sup\pi''\gamma，并注意\gamma^*<\pi(\gamma)，因为后者是正则的。让\vec E=\left<E_\beta\mid\beta<\pi(\lambda)\right>=\pi\left<T_\beta\mid\beta<\lambda\right>并注意 和\vec E\in{\sf HOD}^{V_{\pi(\theta)}}是\vec E的划分S^{\pi(\gamma)}_\omega为平稳集。

设\sigma=\{\eta<\gamma^*\mid E_\eta\cap\gamma^*是静止的\伽玛^*\}，并注意\sigma\in {\sf HOD}^{V_{\pi(\theta)}}。

我们现在可以论证这一点，\sigma=\pi''\lambda就像索洛维引理的证明一样。\盒子

因为\pi''{\sf HOD}\cap V_\lambda\in {\sf HOD}^{V_{\pi(\theta)}}对于所有的情况\lambda<\theta，如果我们设为 的{\mathcal U}_\lambda测量值，我们就可以集中于，并且它的限制为。{\mathcal P}_\delta(\lambda)\pi{\mathcal U}_\lambda{\sf HOD}{\sf HOD}{\sf HOD}

这证明了V_\theta\models{\sf HOD}“is supercompact”的弱扩展模型\三角洲。但我们就基本完成了。\盒子

让我们以 Hugh 关于如何构建扩展模型的一些一般性和清醒的评论作为结束。这些粗略模型使用扩展器V（如弱扩展器模型的要求），并且通常它们的分析建议如何继续进行其精细结构对应物。

当考虑超紧凑性的粗略版本时，如前所述，马吉多尔的重新表述非常适合构建模型，这就是“合适的扩展序列”手稿的原始方法。最近的结果表明，这些模型与过去的超强模型的比较失败，事实上，所有这些模型都V可以编码到这些模型中。这是精细结构版本的严重障碍。

目前的结果表明，即使修改这种方法并直接使用序列中的一些扩展器来编码超紧性（根据索洛瓦引理，这是可能的），围绕 -超紧性的比较也应该失败\kappa^{++}。这提出了两种情况，都不是特别吸引人：要么可迭代性（用非常笼统的术语来说）失败，这将迫使我们在解决超紧性的内部模型程序之前完全改变精细结构理论的性质，要么构建模型很快就会崩溃，因此需要一种尚未预见的不同方法。