Turbo 译码浅析
本文章和系列视频，将讲解 Turbo 码的基本入门。
需要的预备知识主要是知道卷积码的基本编码过程，知道卷积码的 BCJR 译码算法。
Turbo 码是由多个卷积码并联而成的， Turbo 名字的由来，是从译码的角度来看的。因此，严格来说，应该称为并联卷积码的 Turbo 译码算法更合适。
注：也有串联的卷积码构成 Turbo 码，也有由多个不同的卷积码并联/串联成的 Turbo 码，本文主要讲解由多个相同的卷积码并联构成的 Turbo 码。而且，为了叙述方便和公式的简洁，我们以下面的卷积码为例子进行讨论。
如果单独看每一个卷积码，我们可以用 BCJR 译码算法来译码，假如我们先用上面那一个卷积码，做 BCJR 译码，则根据之前的文章和视频讲解，我们知道对每个发送比特的后验概率，可以用如下公式计算：
其中：
以及：
那么，我们可以很自然地想到，是否可以利用上面卷积码得到的后验概率信息，来增强对第二个卷积码做概率计算的可靠性？反过来，等第二个卷积码的后验概率计算出来后，是否又可以用来增强对第一个卷积码做概率计算的可靠性？如此往复迭代，就构成了类似涡轮增压的工作机制，因此，得名 Turbo 译码。
现在，我们来分析，从另外一个卷积码的译码结果中，拿什么样的概率信息给当前这个卷积码的译码使用。
最直观的，最容易理解的，就是把第一个卷积码的后验概率当成对发送比特的概率，代入到第二个卷积码中用到比特概率的地方。
如果令另外一个卷积码中公式 (2) 里的先验概率 等于上一个卷积码中的后验概率，即：
我们来分析一下这样做会有什么问题。从上面的公式，我们在计算 这个概率时，用到了先验概率，我们把
这个概率公式再展开分析一下，从公式 (2) 继续分析。因为我们用到的卷积码是系统码，即编码的 bit 会在编码后的码流中原封不动地保存，那么：
由于用的是系统码，所以 对应的就是
，所以，公式 (5) 可以写成：
把 (6) 代入 (1) 则：
我们把公式 (7) 中最后三项，分别记为：
如果把第一个卷积码计算出来的后验概率，代入到第二个卷积码的先验概率，则有：
可以看到，上面有两个 ，而且代入后，还有
，这样会导致 “重复计算” 的感觉，参考书中好像是说不要这样，而是用公式 (7) 中 求和的部分，作为第一个卷积码因为编码而得到的概率信息，给第二个卷积码使用，即传递：
所以， Turbo 译码的大致流程为：
1) 对第一个卷积码，计算 概率
2) 利用公式 (9)，计算
3) 把 当成
，传递给第二个卷积码
4) 对第二个卷积码，计算 概率
5) 利用公式 (9) （稍微变化一点），计算
6) 把 当成
，传递回第一个卷积码，转到步骤 1 继续，直到结束.
详细的算法描述如下：
表示第几个卷积码
表示第几次迭代
，表示第
次迭代中，第
个卷积码计算出来的要传递的外信息。
表示第
次迭代中，第
个卷积码用到的 先验概率
M 最大迭代次数
-----------------------------算法------begin
初始化： 令 (用初始先验概率输入给第一个卷积码，一般是等概率分布的)
迭代： 按照迭代次数循环
1. 用 作为先验概率
输入给第一个卷积码，计算
* 所有的
* 计算
2. 令
3. 用 作为先验概率
，计算
* 所有的
4. 如果不是最后一次迭代
* 计算
* 令
5. 否则，如果是最后一次迭代
* 用 作为先验概率
，计算
* 解交织
-----------------------------算法------end
我们以一个具体的例子来看译码的过程.
首先，做初始化，我们有的先验概率，是 0/1 比特的取值是等概率的，所以:
对于时刻 0 到时刻 9，我们用公式 (6) 计算出来 概率：
计算出所有的
初始化 0 时刻的
1 时刻的
依次类推，最后计算 9 时刻的
再计算 概率，计算时刻 10 到时刻 1 的：
初始化时刻 10 的 ：
计算 9 时刻的
以此类推，计算 1 时刻的
至此，我们可以计算 extrinsic probability 外信息：
我们把下一个卷积码要用的先验概率用前面的外信息赋值：用同样的步骤计算
， 然后计算出
外信息，把这个外信息作为下一轮的第一个卷积码的先验概率来使用，继续上面的过程。
