I.12:超曲线(双曲线的一支)的基本研究

设:有一顶点为A的圆锥，圆BC为其底面圆，过其轴的平面截得轴三角形ABC(I.3证明)，同时有另一个平面，该平面与底面交线为BC，且BC⊥DE，与圆锥面的交线为截线DFE，F为截线的顶点，G为DE与BC交点，连接FG易得FG为此圆锥截线的直径(I.7 and 定义4证明)。 此时，二面角F-DE-B的平面角＞∠ACB，所以延长FG与AC，最终会于圆锥上方相交于H点，再过点A作AK∥FG，且AK交BC于K，最后过F点作FL⊥FG且使得AK²/BK·KC=FH/FL成立 又过点N作直线RNS∥BC，作直线NO∥FL，连接HL并延长至与NO交于X，最后过L和X作LO与XP，使得LO与XP∥FG 首先与I.11的初步证明步骤同理，易得RMS三点在以RS为直径的圆上，且因为RS⊥MN，所以容易推出MN²=RN·NS 已知FH/FL=AK²/BK·KC=AK/BK comp. AK/KC，且因为易得△AKC∽△HNS 所以AK/KC=HN/NS 同理因为易得△AKB∽△FNR 所以AK/KB=FN/NR 将得到的关系代入已知，于是 FH/FL=FN/NR comp. HN/NS=FN·HN/NR·NS 又因为易证△HLF∽△HXN 所以HF/FL=HN/XN，且容易得到HN·FN/XN·FN=HN/XN，将这一关系代入FH/FL=FN/NR comp. HN/NS=FN·HN/NR·NS 最终得到HN·FN/XN·FN=HN·FN/NR·SN 化简得XN·FN=NR·SN 又因为已在圆RMS内证出MN²=NR·SN 等量代换得MN²=XN·FN 对于最后这个式子，不难发现MN就是纵线，FN就是横线，而XN则是通过f(p)得到(p=FL)，且易知XN-FL=XO=t(t>0)，又根据相似(△LOX∽△HLF)，可以得到t/p=x/HF，这里的HF被称为横截边，令HF=2a，得到t=px/2a 代入后得到y²=(p+px/2a)x 最终我们就可以将它写成y²=px+px²/2a 由于对于最后的结果，我们得到的等式中乘以横线的XN>p=FL，也就是说最后得到的因子比竖直边大，画出来比竖直边长，阿波罗尼斯便将这样的圆锥截线命名为超曲线。 下面附图是书中对于超曲线命名缘由的解释，与我的解释类似。