【抽象代数I】第十七课，环的同构定理和理想

一些证明还不熟，因此这条评论写详细点。

环同构定理（群同构定理升级版）、理想

环同构第一定理。

证明思路和群同构第一定理思路一致。设f (tilde)(a+kerf)=f(a)。在群同构第一定理的证明过程中已经证明f(tilde)是良定义，且f(tilde)是加法下的群同构。因此要证明f (tilde)是环同构，只需证明f (tilde)对乘法是幺半群同态，而这只需要利用 f 在乘法下幺半群同态的两条性质。

环同构第二定理。

①证S+I＜R

先证明(S+I,+)是子群。可利用以下三条结论中任意一条：

（ⅰ）若H，K＜G，则HK＜G⇔HK=KH。

（ⅱ）正规子群与子群的运算仍是子群。（在群同构定理那节详细证明了，很巧妙，利用正规性，把h₂⁻¹“藏”进N）

（ⅲ）群G的两个正规子群的运算仍是正规子群。

（其实本质上就是阿贝尔群中的两个子群加起来是(正规)子群）

然后证明(S+I,·)是子幺半群。含乘法单位元用吸收律易证。现证明(S+I,·)封闭，思路：证明群(G,·)封闭的一个办法是证明GG=G（根据GG的定义）

②S∩I◁S

子群的交是子群

吸收律用集合间运算形式及I的吸收律证明

③I◁S+I

先证明(I,+)＜(S+I,+)。①中已经说明(S+I,+)是子群，I是子群已知，包含关系显然。

再证明吸收律。显然。（S+I⊂R）

④S/(S∩N)≌(S+I)/I

群同构第二定理已证明f良定义，f满射，f在加法下构成群同态，kerf=S∩I。

于是只需证f在乘法下是幺半群同态，就能补齐f环同态，从而补齐环同构第一定理的条件。

环同构第三定理。

①顺带证明一下J/I◁R/I

首先证明(J/I,+)＜(R/I,+)。因为I在加法下有正规性。

接着证吸收律。根据商环里乘法的定义，(R/I)(J/I) = RJ/I ⊂ J/I；(J/I)(R/I) = JR/I ⊂ J/I。

②证明(R/I)/(J/I)≌R/J

令f(a+I)=a+J。f良定义、f满射、f加法下是群同态、kerf=J/I跟之前思路完全一致。

补充两条证明幺半群同态，使得f环同态成立。所以符合环同构第一定理条件。

理想开头。

1.定义由A生成的理想(A)。

2.证明(A)＜R。证明思路同前。

3.定义主理想和有限生成理想。（在交换环中讨论）