【银蛇出品】数学漫谈7——趣味小问题之计算给定多边形的面积

        事情的起源是我发现了群友使用的一款功能强大的地图导航软件。其中一项功能是这样的：在地图上描绘出一个多边形，而后给出所围区域的面积。下面，我们把这个问题抽象一下，变成如下形式：

        今在笛卡尔坐标系下给定n组点，将首尾顺次相接，恰能围成一个单连通区域，且成逆时针绕向(这点很重要)，记之为Sn。问如何求区域Sn的面积？

        我们从简单的情况开始考虑。对于给定三个点A1(x1,y1), A2(x2,y2), A3(x3,y3)，如何计算三角形A1A2A3的面积呢？

        一个自然的想法是利用叉乘

注意，这里为了表示方便，向量叉乘外的|·|仅为取向量z向的代数值，而非取绝对值。若无特殊声明，后续|·|仍为取向量z向的代数值，切记。之所以做此声明，是因为我们引入了向量叉乘，而向量叉乘必须满足右手规则，这使得我们结果的正负符号与曲线的绕向密切相关。也就是说，当曲线为逆时针环绕一周时，求得结果为正，否则结果为负，这个结果称为有向面积。这一点在后续推导中仍要用到。

        注意到公式(1)最后的结果中存在着某种很优美的对称形式，我们将公式(1)做个变形，能看得更加清楚一些

规定其中x4=x1, y4=y1，后面出现类似情况不赘述。

        公式(2)的推导过程启发我们，计算三角形A1A2A3的面积并不依赖于我们所选的坐标原点O，也就是说，再任取其它一点B为新的坐标原点，三角形A1A2A3的面积不会发生改变。

这个结果是合理的。

        我们可以推测，n多边形(n=3,4,5,…)的有向面积应该具有以下形式

下面使用数学归纳法证明公式(4)。

证明 前面我们已经证明n=3的情况成立。

        假设当n=l时公式(4)成立，即

其中l=3,4,5,…

        接下来考虑n=l+1的情况。分成两种情况讨论，第一种情况是点Al+1在Sl外

这时Sl+1的有向面积应为Sl的有向面积和新三角形有向面积之和

        第二种情况是点Al+1在Sl内

这时Sl+1的有向面积应为Sl的有向面积和新三角形有向面积之差，这里注意因绕向导致的有向面积的符号问题

        两种情况的结果是一致的，且说明当n=l+1时公式(4)也成立。于是对于任意n=3,4,5,…，公式(4)均成立。证毕。

        在实际计算面积时，只需要对公式(4)取绝对值即可。注意，取绝对值后结果必为正，所以即使曲线的绕向是顺时针也不会影响最终结果。

这就是原问题的答案。