【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第一章直线、角、平行线——角和垂线   

§1-9余角、补角、对顶角

【01】我们用量角器来量二块不同形状的三角板的两个锐角，就会知道，其中一块的两个锐角分别是 30° 和 60°；另一块的两个锐角都是 45°  。每一块三角板上两个锐角的和都是：30°＋60°＝90°；45°＋45°＝90°  。

【02】象这样的两个角的和等于 90° 的情形是很多的。例如，自直角的顶点在两边之间任意引一射线，把直角分成两个角，这两个角的和也等于 90°。在图1·60中 ∠AOB＝90°，而 ∠AOC＋∠COB＝90°  。

【03】如果两个角的和等于 90°，那末这两个角叫做互为余角。例如，30° 角是 60° 角的余角，60° 角也是 30° 角的余角。

【04】我们根据互为余角的关系，就容易推知下述结论是正确的：等角（或同角）的余角相等。

【05】例如，已知 ∠1＝∠2，而 ∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，∴ ∠3＝∠4（等角的余角相等）。

【06】又如，∠1＋∠a＝90°，∠1＋∠b＝90°，∴ ∠a＝∠b（同角的余角相等）。

【07】如果两个角的和等于 180°，那末这两个角叫做互为补角，例如，30° 和 150° 角；100° 和 80° 角；等等。

【08】如果我们把任意一个锐角或者钝角的一边，从它的顶点向外延长，就得到两个角，它们的和等于180°  。它们同时又是邻角，所以叫做邻补角。

【09】图1·61中的 ∠1 与 ∠2，∠3 与 ∠4 都是邻补角。

【10】我们根据互为补角的关系，可以推知，等角（或同角）的补角相等。

【11】如果我们把一个角的两边从它的顶点向外延长，就得到两双角。象图1·62中的 ∠AOB 与 ∠COD，∠AOD 与 ∠BOC；它们中间一角的两边都是另一角两边的反向延长线。

【12】如果一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，则这两个角叫做对顶角。图1·62中的 ∠AOB 和 ∠COD；∠AOD 和 ∠BOC 都是对顶角。

【13】现在来计算下面的题目：

例.已知 ∠AOB＝55°，计算它的对顶角 COD 是几度？（图1·63）。

【解】

        因为 ∠AOB 和 ∠COD 是对顶角，因此 AC 和 BD 都是直线，所以 ∠AOB＋∠BOC＝180°，∠COD＋∠BOC＝180°  。

        从上式可知 ∠AOB＝∠COD（同角的补角相等）

        但已知 ∠AOB＝55°，∴ ∠COD＝55°  。

        答：∠COD是55°  。

        我们参照上面的做法，如果设 ∠AOB＝38°，那末它的对顶角∠COD几度呢？显然，∠COD＝38°，也就是∠AOB＝∠COD  。从此得出对顶角的性质：对顶角相等。

例1.求 25°30' 的余角和补角。

【解】它的余角是 90°－25°30'＝64°30'  。它的补角是 180°－25°30'＝154°30'  。

例2.互为补角的两个角，能不能都是锐角？钝角？直角？在一般情形是哪种角？

【答】

        (1) 互为补角的两个角不能都是锐角。因为如果它们都是锐角，则它们的和一定小于2d，而不等于2d  。

        (2) 互为补角的两个角不能都是钝角。因为如果它们都是钝角，则它们的和一定大于 2d，而不等于2d  。

        (3) 互为补角的两个角可能都是直角。因为两直角的和等于 2d  。

        (4) 在一般情形，互为补角的两角是一个锐角和一个钝角。

例3.已知 ∠a＝15°，求 ∠a 的余角的补角是几度？

【解】

        图1·64中，∠a＝15°，∠AOC＝90°，又 BOD 是一直线。

        可知 ∠b 是 ∠a 的余角，∠c 是 ∠b 的补角，也就是 ∠c 是 ∠a 的余角的补角。计算得，∠b＝90°－15°＝75°，∠c＝180°－75°＝105°  。答：∠a 的余角的补角等于 105°  。

例4.图1·65中直线 AB 与 CD 相交于 O，∠AOC＝32°30'，求其余三个角的度数。

【解】

        已知 ∠AOC＝32°30'，又 AB 和 CD 两直线相交于 O，则 ∠BOD＝∠AOC＝32°30'（对顶角相等）。

        ∠BOC＝∠AOD＝180°－32°30'＝147°30'（∠BOC 与 ∠AOC互补，∠BOC 与 ∠AOD 是对顶角）

        答：∠BOD＝32°30'，∠BOC＝∠AOD＝147°30'  。

习题1-9

1、下图中 CO⊥AE，∠AOB＝∠EOD，在图中还有相等的角吗？为什么？【∠BOC＝∠DOC，∠AOC＝∠EOC，∠AOD＝∠EOB】

2、用量角器画出下列各角的余角：(1) 36°，(2) 65°，(3) 1/5 d  。

3、用量角器画出下列各角的补角：(1) 3/5 d，(2) 125°，(3) [1又2/3] d  。

[画已知角的补角有二个方法：(1) 先计算出它的补角的度数，再画出这个角；(2) 先画出已知角，再延长它的一边]

4、一个角比它的余角大 20°15'，求这个角的度数。 【55°7′30″】

5、附图中 ∠AOC＝∠BOD＝90°，又∠AOB:∠BOC＝13:32，求∠COD的度数。[提示：仿照习题1-8第5题先求出∠AOB]【26°】

6、一个角是它的补角的 3 倍，求这个角。【135°】

7、如图中三直线相交于点，已知 ∠1＝96°，∠5＝70°，求 ∠2，∠3，∠4 和 ∠6 各角的度数。【∠2＝70°，∠3＝14°，∠4＝96°，∠6＝14°】

8、两个角的度数的比为 7:3，它们的角度差是 72°，这两个角互为补角吗？【是】

9、如图中 AB 是直线，∠1＝∠3，则 ∠2＝∠4，为什么？【等角的补角相等】

10、直线 EF 截 AB 和 CD 成8个角，哪几对角是对顶角？如果已知 ∠2＝70°，∠5＝106°，求其余各角的度数（图如上）。【∠1 和 ∠3，∠2 和 ∠4，∠5 和 ∠7，∠6 和 ∠8 是对顶角，又 ∠1＝110°，∠3＝110°，∠4＝70°，∠6＝74°，∠7＝106°，∠8＝74°】

11、如附图，直线 AD 和 BC 相交于点 O，∠AOB 和 ∠COD 的和等于 225°，求∠AOC  。【67°30′】

*12、附图中 AB 是一直线，OP 是 ∠BOC 的平分线，OQ 是 ∠COA 的平分线，那末 ∠POQ 是一个直角，为什么？

*13、直线EF截AB和CD成 8 个角，已知 ∠3 等于 ∠5，则 ∠1＋∠8＝2d，为什么？