作者：何许  来源：知乎

在新导数定义下看明代王文素率先发现微积分导数（乙方）及其运用于高次方程的问题

------------------兼论微积分导数及其应用发明权的归属

沈卫国

内容提要：在笔者提出的“新导数 定义”的基础上，对500年前明代伟大数学家王文素巨著«算学宝鉴»中得到的导数（他成为是“乙方”）进行了全新的认识，证明其完全与笔者“新导数定义”一致。进而可以确定，王文素在500年前就提出了绝对不依赖于无穷小和非平凡极限的导数概念。并实际很自然地得到了各次幂函数的导数值。而这正是正确的、无矛盾（不存在所谓的“贝克莱悖论”问题的困扰）的微积分的基础和出发点。因此，王文素不仅仅是早牛顿、莱布尼兹140年提出了微积分导数（乙方）的问题，而是早牛顿、莱布尼兹不完善的、有瑕疵的、存在矛盾（贝克莱悖论）微积分早140年提出了完全正确的、无瑕疵的、不存在任何矛盾的微积分导数（乙方）的问题。他根本无需“拨乱反正”，因为微积分导数之“乱源”，发生在其之后140年。在笔者费了很大的劲，才从非平凡极限法微积分的泥淖中挣脱出来的眼光看，才更觉王文素提出并使用其于计算的导数（乙方）的正确性及其伟大意义。一些人贬低他的理由，也就是他没有提到所谓的传统或“现代”微积分习以为常的无穷小和其实是非平凡的极限概念，却恰恰是其伟大之处、明智之处。换言之，比西方所有那些人都高明之处。其微积分创始人的地位，终究必须也必然会被承认。特别提下，如果他的著作不过是前人导数方法的汇总、记录（待考），那么，实际中国发现微积分方法的时间还要提前。这是有待进一步考证的。即使如此，王文素作为微积分导数（乙方）及其应用方法的记录人，无疑也是功不可没的。至于王文素实际使用的、和笔者在其500年后单独明确提出的微积分所谓“新导数”思路为什么正确，非平凡极限法微积分导数定义为什么不行，这个工作，是笔者独立完成的。笔者的工作，不经意间实际是明确地、更清晰地返回了500年前的王文素的正确的做法。见此文及笔者前期系列文章。

关键词：王文素；明代；500年前；算学宝鉴；贝克莱悖论；乙方；导数；幂函数；各次幂函数的导数；微积分；非平凡极限；分母上的自变量；比式；非平凡比式；自变量的微分；微积分创始人；新导数定义；增量分析

一、王文素作为导数第一人或传承人辨析

本来已经申明在相关学术问题上就此封笔的。可还不到两天，就无意中在网上得知北师大已故赵擎寰教授评论明代晋籍数学家王文素巨著«算学宝鉴»中对微积分导数的得出早牛顿等140年的掌故。这当然引起了我极大的兴趣。因为我一直认为，长于计算的中国古代，似乎应该有对本质上是用于计算的微积分求导问题的贡献。因为对应数学运算而言，微积分求导、运算，其实并不是特别难的。吴文俊先生也早就说过：“.........（微积分）发明过程中中国古代数学的作用远优于希腊式的数学，我们甚至不无理由可以这么说，微积分的发明乃是中国式数学战胜希腊式数学的产物【6】”。但过去笔者在网上没有搜到有关信息，一直引为憾事。这回好了，无心之得还真就来了。但赵擎寰先生的有关文章«明王文素珠算巨著«算学宝鉴»天元术高次多项方程与导数»一文遍搜不到，估计不是正式期刊发表的，而是会议交流的论文集中的文章（有网友上传有关章节的照片，但看不清楚，只能作为证明有此一文而已）。所幸在网上搜到网名scarse的一网友的介绍文章，才使得我辈得以略窥其豹，大略了解一二。拜读之后，实话说笔者大为震惊与激动！真想不到500年前，作为晋商的王文素先生（明代“民科”乎？），就实打实地得到了各次幂函数的微积分导数，并且运用于数学计算（这是当然的，导数发明的目的，就是计算，否则毫无意义。中西皆然。特别是高次方程也就是非线性方程、曲线方程的求解问题）。但是，很多国人（包括该文作者scarse本人）却都语出不屑，更倾向于贬低王文素，似乎王文素仅仅是“瞎猫碰到了死耗子”，偶然撞到了或写出了导数式子而已，似乎他并没有意识到他求出的是什么似的。不能不说，这一方面是国内上上下下盲目崇洋迷外的结果，另一方面，也是有关的人没有达到笔者“新导数定义”下的微积分诠释的结果。因此，他们这些人对王文素给出的导数不甚了然，某种意义上也不奇怪。以下针对该文，做一些具体分析。事实上，王文素不但是得到了导数（他称之为“乙方”），而且是完全正确的导数，也可以说是与非平凡极限、无穷小等概念完全无关的导数。它根本就不涉及“分母为自变量”的这类比式（可以称之为“非平凡比式”，以区别于一般意义的比式）的趋0极限值（可以称之为“非平凡极限”，以区别于一般意义的极限。在与人的讨论中笔者发现，很多人分不清二者的区别）或函数值的问题（即是不是0/0的贝克莱悖论问题）。因此笔者费了很大的劲儿，才从西方人（包括牛顿、莱布尼兹，柯西，外尔斯特拉斯等等）在这个基于分母为自变量的“非平凡比式”的导数观念（趋0非平凡极限）的误导下挣脱出来得到的结论，人家王文素顺理成章地轻而易举就得到了。原因当然是他根本就没有受到西方那些人的观念“污染”，没有先入为主的一套臼窠需要爬出来。这使得笔者不禁想到，已故数学大家吴文俊先生大加赞赏的中国古代«九章算术»中对无理数的干净利落的定义简直异曲同工：根本就不是从无穷小数的角度来定义，而是单刀直入实数本质地从“形”的“维”的扩展上来考虑问题，因此无比自然而明确，且根本就不再有西方无理数定义法所导致的后世无休止的理论困扰。笔者的思路历程，是先想到代数法下直线与曲线的重根即切线与曲线的交点，进而明白了导数的新定义，但当时还是认为分母为自变量的所谓非平凡比式的趋0非平凡极限还是有的，只不过不应该以此极限来代替原先的那个无意义的函数值0/0。然后又突然意识到，这个类型的趋0非平凡极限（分母有自变量的非平凡比式的），不过是一个“非正常趋0极限”（仿一句搞数学的经常“似正规”说法，就是“非平凡极限”）。而正规的“不可达意义”的极限，都有一个用不可达极限来代替无定义的函数值是否合适的问题，更不用说这个实际的“非正常极限”了（说白了，就是“错误的极限”）。而在其后，才醒悟到既然有了新导数定义，那么，在这个定义下，我们完全可以不用拘泥于传统微积分的做法（他们是在他们的定义下不得已的），即在增量比值函数△y/△x下求导，而就在增量函数△y（具体说是割线、切线的增量函数，而不是曲线本身的增量函数）下求导即可，也就是说，根本就没有什么分母为不为0的问题，因为求导时在新定义下根本就可以没有作为自变量△x的分母了。无分母△x了，还有分母△x为0不为0的问题吗？而王文素的得出导数（他谓之“乙方”）的做法，正是如此（见附录公式3）。因此在这个意义上，王文素无可争议地就是微积分导数发现的第一人！而且是完全正确的导数的发现第一人！！理由很简单，那些人们津津乐道的所谓的正规的、成套的、成系统的、无论牛顿法（先是无穷小，后是“最终比”）、莱布尼兹法（无穷小的微分之比）还是柯西的极限法，都是有问题的，没有解释清楚的，或曰解释错的（详见笔者前期文章分析）。唯有王文素没有跟着他们去跳这个火坑，理由很简单：王文素的«算学宝鉴»比他们的有瑕疵的文章早起码140年（比柯西的极限法大概早200多年了）。我可以毫不犹豫地、也毫不夸张地宣告于国人：微积分求导的发明权，而且是完全正确的发明权，属于中国人，属于山西人，属于汾阳人，属于王文素！口说无凭，下面具体分析（结合scarse的文章，见附录照片）。

该文中的公式（3）中的k，就是我们习惯上用的自变量的增量△x，公式（3）括号部分，就是一阶导数（王文素称之为“乙方”。有意思的是，张景中院士在其关于微积分改进的文章中，将其得到的导数称为“乙函数”，岂非天作之合哈？）。这是王文素明确得到的。其中注意，2a2h（此处h为自变量，相当于我们通常表示的x），就是我们经常作为例子引用的“二次曲线”的导数。值得读者特别注意的是，这个“乙方”（导数）的得到，根本就没有用什么增量比值函数（分母为自变量的非平凡的比式），用的就是并无分母的增量函数。把公式（3）“翻译”成现在的数学语言，就是g•△x，其中g为导数（乙方），或这个直线增量方程的系数（这里用g而不用通常表达系数或斜率的k，是避免与该文中表示自变量增量的k相混淆）。而△x就是自变量的增量（对应于该文中的k）。显然，王文素在给出导数（即“乙方”）的过程中，并未出现k/k也就是我们通常的△x/△x，它没有分母，更谈不上分母上的自变量△x（或k）。因此根本就不会有随着自变量等于或趋于0分母为不为0的贝克莱悖论问题。

为简化讨论起见，我们仅以（3）式中的二次函数的导数2a2h这一项来分析。无关紧要地，我们把常数项a2去掉。剩下的h，就是我们通常用习惯了的自变量x，而k，就是自变量的增量△x。文中说的“解”h+k，就是我们通常的x + △x。如此可见，（3）式中的二次方程那一项，连同括号内外，实际就是我们通常的2x•△x。其中2x是括号内的，△x是括号外的（就是式中的k）。当然，（3）式是舍弃了△x（即k）的高次项得到到，也就是在（2x + △x）•△x = 2x•△x + △x2中，舍弃了自变量△x的高次项△x2或单单“提出”2x•△x 而得到的。而2x当然就是现在称作“导数”的“乙方”。这在数值上与令2x + △x中的△x = 0或△x → 0而得到2x是一个意思。于是显然，2x + △x就是割线斜率，2x就是切线斜率， 2x•△x 就是函数增量的“线性主部”，即通常的“微分”，而△x2即函数增量的“非线性部分”。而（2x + △x）•△x即函数y（或其割线）的增量△y。可见，（3）式反倒不必要求k（即△x）为0（或趋于0与否），而是导数（乙方）直接与现在的微分概念融合，或直接由其得到，自然而无矛盾。其没有分母，没有分母上的自变量，也就没有什么0/0的问题，贝克莱悖论根本不存在。这是一种远优于牛顿、莱布尼兹、柯西其实是有问题、有矛盾的做法的做法，是直至微积分导数本原（在500年前）或回归微积分本原（以现在走了几百年的弯路的眼光看来）的做法。它与笔者在西方微积分理论的误导下经过大量思考才好不容易艰难“爬”出其窠臼而有所悟方法异曲同工、如出一辙。尽管王文素没有提到什么切线、斜率、瞬时速度等等概念，但这类几何、物理概念并不是代数类数学理论所必须，而微积分的本质，当然与代数求解直接有关。

宿迁学院李红玲教授在其文章中提到美国纽约州立大学的Range教授给出的导数定义及求导方法【1】，实际与笔者和500年前的王文素是基本一致的。而王文素早500年。笔者对导数的新定义是很明确的，但Range教授对传统微积分导数的看法究竟为何，所得资料太少，还不好确定。只是从李教授的介绍中的寥寥数语看，其表述与笔者给出的导数新定义是一致的（就是实实在在的切线斜率或切线方程的系数）。但Range在求导中要得到0 = g（0）•0,其中g（0）为导数。但此时△x和△y此都是0，这在笔者的诠释下当然没有问题，但Range究竟如何解释这一点并不十分清楚。而笔者与王文素并无此要求。见附录文中的公式3中的“k” ，它不为0。而k的高次项都被“舍弃”了，因此本质上，这实际上就等于承认了k的高次项与这个k的一次项实际不是同一个变量（一个“舍弃”了，也就是为0了，而另一个不为0，它们能说是同一个变量吗？），而一次变量方程，不就是线性方程而不是曲线方程吗？从另一个角度看，就算我们不把高次项看成“0”，只是“不考虑它们”或“舍弃”它们，那也等于舍弃了高次的非线性的与弯曲有关的项，而“剩下的”自然就是一次的只与直线有关的线性项。同时如果系数（斜率，导数）唯一地与线性方程“绑定”，那么它对高次的曲线非线性方程而言，当然就不是“实在”的，而是“虚拟”的（这就与理论力学中的“虚位移”、“虚功”等概念是想通的。原先这些概念是没有怎么说清楚的）。即：非线性的曲线就是曲线，就不是线性的直线，这是本质的，不要再想着在无穷小段曲线与直线可以重合或忽略误差。或者曲线增量的趋0极限就是直线或与直线重合等等。实际上，线性的直线只是非线性的曲线的各次方叠加态中的一个态而已（尽管是似乎可以看成是最基础的也罢），各次态的所有项的叠加，如何可以在任何情况下与这些项中的一个态（哪怕是线性态）相等？直观地，如果有a = 1+2+3+4+5+........，那么还有a = 1吗？除非它们都是0。但如此一来，还有意义吗？于是，斜率（导数）只能属于线性的直线（切线的斜率就是导数），不可能斜率属于任何曲线。而这恰恰就是传统微积分之误，总想把斜率直接与曲线挂钩，因此非出矛盾不可。在此角度下，王文素的具体处理办法与笔者对微积分导数的诠释是暗合的。虽然王文素在这里没有多说什么，但他是实际地做出来了。此外，王文素的书很多内容是对数学历史文献中的数学方法的介绍或改进，因此真正最早的导数（乙方）的得到是不是比他还要早，还有考证的余地。如果真的如此，导数的得到在我国可能更早。这些，都是值得期待的（在此之前，暂时先以王文素为最早）。

总之，有人以王文素没有提到无穷小或极限为由否定或无视他的成就，认为他不过是“瞎猫碰到死耗子”，得到导数的数值而未解其意，因此不能算微积分的创始人、导数的发明人。比如引文的作者scarse，说“可以在王文素的做法中找到导数的影子”（实际上，根本就不是什么“影子”。白纸黑字，就是实实在在的导数（乙方）。仅就二次函数而言，难道牛顿得到了2x就算数，就不是“影子”，王文素同样得到了2x，就成了一个“影子”了？）。根据前文可知，这种看法是完全错误的！实际上，无论无穷小还是极限，都可以视为微积分历史上的弯路、误解，它们都避免不了贝克莱悖论。这在笔者前期文章中早有透彻的分析与论证。此不赘述。因此没有提到什么无穷小、极限，不但不是王文素得到导数过程中的缺点，反而是其优点，说明在起码500年前，作为中国明朝山西汾阳人的他，就实际上得到了完全正确的、无瑕疵的、无矛盾（无贝克莱悖论）的导数定义（乙方）及求导方法，并运用于解决实际问题的数学实践中（这是当然的，微积分的创建目的无论中西，都是为了求解数学问题无疑）。因此，从这个角度说，不但王文素当之无愧地就是微积分的发明人，而且是完全正确的微积分的发明人。他比其后140年的牛顿、莱布尼兹，更比其后200多年的柯西要高明的多。

牛顿一开始是认可无穷小的，但后来提出“最终比”解释，其实就是极限观点。而莱布尼兹正好相反，一开始是极限，但后期广泛使用无穷小（见«微积分概念发展史»）。而柯西的极限法更是明确否定了无穷小概念。试图用极限法（本质是“非平凡极限”）一统微积分的天下。柯西和外尔斯特拉斯等试图“曲线救“导””，他们的基本思路为：不是在0点的增量比值函数的非平凡比式的“函数值”为无意义的0/0吗（这是公认的）？好，我们就不考虑该点了，也就是干脆把该点“革出”定义域，自然也就是没有函数值“0/0”了。于是，就可以通过约分消去分母上的那个自变量△x，然后再让剩下的原先处于这个非平凡比式分子上的自变量△x趋于0（实际此时等于0也无妨了），如此这般地就算是求出了原先那个非平凡比式的趋0极限值了。即，以一个没有分母上的自变量△x的非比式的“可达趋0极限”，去等价于（实际做法是赤裸裸的“代替”、“取代”）一个分母为自变量△x的非平凡的比式的“不可达趋0极限”，居然还认为一点逻辑问题也没有。是这样吗？数学行当不是号称“最讲逻辑”的吗？我们不是经常看到很多十分明显的东西，我们认为几乎是自明的、无需证明的东西，数学教科书中也要煞有介事、一本正经地给出“证明”的吗？我们不是如此这般地被教导的吗？怎么这里却没有一个证明？究竟为什么一个无论消不消分母上的自变量△x，求出的趋0极限都是原先那个非平凡比式（分母上有自变量△x的）的趋0非平凡的、不可达的极限值？好，如果真的要给出一个证明，还是只能是先通过约分消去分母上的自变量△x来完成这个证明（谁要是不信就请亲自试试）。这不是典型的逻辑上的“循环论证”错误？反之，我们还以最简单的二次函数为例：假设有一个在△x = 0点无定义的、也就是其定义域人为地不包括该点的非比式的“平凡的”、也就是没有分母（自然也没有分母上的自变量△x了）的函数“2x + △x”在△x → 0时（即其极限值）当然为2x，也就是其极限、严格说是可达极限为2x。如通过对2x + △x乘以一个△x/△x后得到的（2x + △x）•△x/△x来直接求得这个“非平凡比式（分母上此时有自变量△x了）”的趋0的、有意义的、非0/0型的不可达极限是办不到的。如果直接求，这个非平凡比式的趋0极限就是无意义的0/0，与其公认的在该点的无意义的函数值0/0完全一致。换言之，我们想通过反向操作对一个强令其在△x = 0点无定义的、但非比式的、趋0不可达极限值就是2x的“2x + △x”乘以一个△x/△x来求其极限值2x是不可能的、办不到的，因为此时的极限值就是无意义的0/0，而非有意义的2x。这里我们可以运用“反证法”了：如果未证明趋0极限值为无意义的0/0，则必为有意义的2x。但前面已经证明了如果不通过约分先消去分母上的自变量△x这一步，是怎么也得不到“这个趋0极限是有意义的2x”这个结论的，因此不通过约分先消去分母上的自变量△x，只能得到极限值也为与其函数值一样的无意义的0/0。得证。

更何况笔者早就论证了，所谓“约分消分母”，就是也只能是令分母为“1”。为1，只能等于这个1或趋于1，而绝对不是原先认为的“趋于0”（当然更不是等于0了）。就算有人强辩，说什么“不一定是1”云云，但反正绝对不会是“0”。于是结论为：是0，不能约分。而约分，就不能再得到0。不能再得到0，就不会再趋于0。不可能有什么极限法说的：“为0不行，于是不考虑为0点。而不考虑为0点，就不会等于0了，于是就可以约分了，而约分了，没有分母了，就可以趋于0了”这回事。事实是：公认地，函数值在0点为0/0，不行。于是不考虑0点后，就可以约分了。但约分等价于分母为“1”，起码不为0，于是要去“趋于”什么，也只能是趋于“1”或起码也是任何非0数，而单单绝对不会再是“趋于0”了，非平凡极限法微积分赖以求导的那个著名的定义式，求导式，即对△y/△x这个非平凡比式求其在△x → 0时的非平凡极限值，还成立吗？还有吗？

总之，非平凡比式△y/△x的非平凡趋0极限，仍旧是无意义的0/0。如果不是，就不叫非平凡比的极限了。如果任何一个比式的极限最后成了一个非比式，它如果还是被视为一个比式，以与原非平凡比式△y/△x一致，其分母只能是“1”。既然是“1”了，当然就不会有等于0或趋于0的事发生。

还有人说，分母△x → 0不是0。那么请问，不是0又是几？是不是要给一个具体的数？如果给不出，就只能是0，这实际上可以看成就是一个反证法的证明：△x → 0 = 0的一个证明。

因此，非平凡极限法之不能成立的理由，是“双重的”，这个结论是“双保险”的。逻辑上无任何瑕疵的。

还有一个不容忽视的问题：第一代微积分（牛顿、莱布尼兹）的导数dy/dx，是十分自然的一个比式，莱布尼兹称之为“微商”，明确地是个“商”。它的分子dy和分母dx，是可以分拆的。是相互独立存在的。但在所谓第二代微积分（极限法。柯西、外尔斯特拉斯等）中，由于其导数定义的限制，细究起来，导数不可能是一个有分子分母的比式，因此“微商”这个名词严格讲不能成立。它（即dy/dx）不是个“商”，仅仅是一个“整体”，只能作为一个不可分拆的“数”看待（见所有比较严谨的教科书）。严格而言，已经不是什么“微商”的导数只能被写成f’（x）的形式，尽管往往还是有意无意习惯地写成比式形式dy/dx。因此所谓第二代微积分，在诠释导数f’（x）的合理性时，是严格区分导数不是比式这点的。它就根本不应该再被写成dy/dx形式。但在实际导数的应用中，却有意无意还是回到牛顿、莱布尼兹第一代微积分的做法上来。也就是dy/dx仍旧充斥于教科书中。这是很让一些真正动脑子琢磨事的学者、学生十分困惑的。况且，第二代极限法微积分的做法，直接导致微积分整个理论的复杂化，一改牛顿、莱布尼兹第一代微积分的简洁性。以至现在很多教材（特别是不甚严格的偏应用的工科教材）说的实际还是本该抛弃的第一代牛顿、莱布尼兹微积分。比如，很多教材还在提按理早该淘汰的无穷小概念。这种教材中，往往把本来不相容的无穷小和极限相提并论或来回切换说法。这不仅仅是不严谨的问题，严格说还是相互矛盾的。

而罗宾逊的非标准分析，众所周知，等于又回归了无穷小法（见柯朗的«数学是什么»）也就是牛顿、莱布尼兹法。可见，贯穿整个西方微积分历史，无穷小与极限这一对矛盾，始终相互缠绕，“既爱又恨”，互斥又互相依赖。这已经很说明问题了。实际上，二者都不行。属于殊途同归地错到一起了。而自王文素始以至笔者、Range（可能，待考）的不需要无穷小、极限的微积分，才是真正意义的无矛盾的、本原的微积分诠释。

总之，王文素得到导数（乙方）的途径中，既没有无穷小，也没有“非平凡极限”（非存在极限），也没有使用分母为自变量的增量比值（笔者称之为“非平凡比式”）的趋0极限，这不但不是一些人认为的他得到导数过程的缺陷，反而是他的一大优点。明确说，他的这个优点就是“完全正确”、“没有瑕疵”、“没有矛盾”（不可能产生矛盾，因为他把所有可能产生矛盾的途径都堵死了）。因此，王文素与在其140年之后的微积分导数概念（定义）、求法之间，不是一个简单的优缺点的孰优孰劣的问题，而是一个本质上谁更正确、更无误的问题。发明的时间提早了140年，还“预先”就等于“排除了”（实际上当然指的是根本就“没有出现”）140年之后的微积分求导理论的问题（贝克莱悖论的矛盾），请问，微积分的发明权不归他归谁？（除非他的结论是他从更古的“古代文献”中淘来的。这当然待考）。

有人可能还会以王文素没有涉及“切线斜率”、“瞬时速度”等几何、物理概念而认为他没有发现微积分导数。或虽然发现了、提到了，但没有真正理解导数的真实含义。这个看法根本就不能成立。须知，就是牛顿，也主要是把注意力集中在解决“瞬时速度”这个物理范畴的问题，而对切线之类的几何问题并不关注。而莱布尼兹，则主要是在几何的切线上来理解导数的，而对“瞬时速度”之类的物理问题同样并未特别关注，难道说，他们二人同样地也是理解了导数的一个侧面，就无资格当西方世界的微积分的发明人了？王文素虽然关心的主要不是物理问题和几何问题，但解方程同样是微积分导数的任务，况且众所周知，无论物理还是几何，不都需要解代数方程的吗？因此，王文素微积分导数发明人的地位，是无可撼动的。

同样地，王文素的插值法，比之牛顿也早了140年。读者可以对照相关教科书细细品味。

当然，王文素得到的导数（乙方），只涉及各次幂函数的导数。这是一种一次项（线性项）与高次项（非线性项）可以分开的函数的求导。三角函数的求导王文素当然没有涉及。但这并不影响王文素为微积分导数第一人（前面也说了，除非他的方法是他之前的民间方法的汇总）。作为开拓者，这个名头非他莫属。至于微积分的后续发展，在西方也不是一人、一日之功。后续乏人，难道也要王文素负责？至于西方三角函数的导数是谁、和什么时间得到的，我还没有查到，就算是牛顿、莱布尼兹已经得到了它，人们也没有以三角函数导数的求得来定义微积分的发明标志的。这个说法不成立。况且按笔者前期文章的分析，教科书中的使用三明治定理对三角函数导数的求法，其实是有错误的，它会产生“0＜0＜0”这样的问题。

二、重新发掘、肯定、弘扬王文素微积分贡献的重要意义及对可能的异议的反驳

有人致力于否定我国古代科学、数学成就也许可谓不遗余力。他们也许会以王文素“未成体系”来否定其成就和微积分发明人的地位。其实这根本就站不住脚。就是“现代微积分”，也不是一人、两人独立完成的（罗马不是一天建成的），牛顿、莱布尼兹究竟完成了微积分的多少内容，笔者未做考证，想必实际也不会太多。他们只是开了个头。如此，王文素不是也开了个头？我们指的不就是、也仅仅是这个？如果说完善才是创建，那就算按西方的认识，为什么不说柯西是微积分的创始人，而说不甚完善的牛顿、莱布尼兹是微积分的创建人？牛顿可以以不完善为创始人，王文素就不行了，就必须完善了才是创始人？更何况前面我也说了，就微积分、导数的实质而言，王文素提出导数的方式比牛顿、莱布尼兹以致后来的柯西、外尔斯特拉斯高明的多，且没有错误、矛盾。而前者是错的，或显（第一代）或隐（第二代）会产生贝克莱悖论。如此，还有什么理由否定王文素创建微积分、提出导数（乙方）的成就吗？叫了个“乙方”，未叫“导数”，就不认识了？

有人或许还会以王文素“仅仅”得到了导数（乙方）（即使如此，也必须承认是一个大成就了）而没有提出积分问题来求全责难，质疑其微积分发明人的历史地位。这在过去，或许还成立，但在笔者的新观点下，这个看法也不能成立。因为笔者一再强调，在笔者提出的导数的第二定义下（见笔者前期相关论文），所谓积分，就是大些的微分；而所谓微分，就是小些的积分。二者没有本质的区别。也就是说，积分与微分之间，是满足可加性的。这就回归了微分、积分的本原，使理论大为简化且合理。比如，还是以二次函数为例，导数是2x（附录文中就是2h，为了简化起见，省去了a2，或令a2 = 1），传统意义的微分（二次函数增量的线性主部）就是2x•△x（附录文中就是2h•k）,而二次函数的增量就是

（x + △x）2 - x2 = 2x•△x + △x2 = （2x +△x ）•△x。在附录文中就是（h + k）2 - h2 = 2h•k + k2 = （2h + k）•k。设x + △x点与x点的中值定理意义的“中值”（注意，并不是几何意义的“中间点”）为△x0 ，则此中值点的导数显然就是2（x + △x0 ），对照二次曲线的增量，也就是过曲线上过x + △x与x二点的割线（其斜率与中值点△x0 的导数数值相等，也是2（x + △x0 ）。它与△x0 的切线是平行的。这可以由“中值定理”直接看出）。而显然，2（x + △x0 ）• △x的数值就是函数增量（x + △x）2 - x2 = 2x•△x + △x2 = （2x +△x ）•△x。对比二式，即有2（x + △x0 ）= 2x +△x ，同时可以得到2△x0 = △x。于是，只要满足这个关系式，由中值点的导数求函数的增量，与用x点的导数先求出所谓的函数的“线性主部”2x •△x再加上高阶项△x2 得到的函数的增量（x + △x）2 - x2 = 2x•△x + △x2 = （2x +△x ）•△x就是完全一样的。而函数的增量，就是其“积分”。可见，虽然王文素没有提出中值概念，也没有什么中值定理，那是因为从他的求法中，根本就不需要这些概念。因为反正也是2x +△x ，而既然2（x + △x0 ）= 2x +△x ，又何必再明写出2（x + △x0 ）？在王文素那里，这些都是叠床架屋的重复，根本就不需要的，无需多说。而只有由于西方无论牛顿、莱布尼兹还是柯西、外尔斯特拉斯，深陷无穷小或非平凡极限（分母上是自变量的比式的趋0极限。我这是说的“文雅”些的，其实说的明白些就是“不正常极限”，“根本就不存在的极限”）的泥淖之中，因此不得不费了好大的劲来又去证明这个中值的存在性和中值定理。而如果没有这些“累赘”，只有增量（我们求的就是增量），中值定理根本就不是定理，它无需证明，在逻辑上它就是整个理论的出发点。而这一切正是王文素（可能还更早的多）500年前所做的，笔者500后所重新并且更明确地认识到的。而500年前的王文素，由于根本就没有无穷小或非平凡极限需要操心，当然谈不上什么“更明确的认识”，也不需要这种认识，因为在他看来，不需要极限与无穷小的后来称之为微积分的运算，本来就无需无穷小与极限。更何况无论无穷小还是非平凡极限，还都有贝克莱悖论的矛盾问题。因此，那种以王文素没有提到错误的、会产生贝克莱悖论的非平凡极限或无穷小就说明他没有发明微积分的看法，根本就不能成立。反正，恰好正是王文素没有提到这些“累赘”、“包袱”和“错误”，才使得他其实在500年前就得到了完全正确的、无矛盾的、简洁的微积分。而这一切，笔者也是在最近（他之后500年）才充分才认识到，也就是才从无穷小、非平凡极限的泥淖中挣扎着爬了出来。可是，绝大多数人，还在坑里沾沾自喜着呢。呵呵。

至于连接积分与微分、导数的桥梁“微积分基本定理”，在王文素那里，由于其积分是顺理成章自然得到的，因此无需单独提出。只有建立在无穷小或非平凡极限上的西方微积分，才需要这种东西。而且由于无穷小或非平凡极限运用于微积分求导根本就不对，因此这个定理自然在其逻辑本质上也不可能是对的。

至于在笔者导数的第一定义下的积分观念和所谓笔者的“新微积分基本定理”概念的提出，见本文后面的“补遗”部分。

总之，如果没有充分认识到对微积分而言，无穷小和非平凡极限就是暗疾，那自然会认为王文素没有提此二瑕疵于是与微积分失之交臂（就算如此，其实也不对。因为导数值他非常明确地给出来并且运用于算法中了！作为优先权，这就足够了）。但如果能深刻意识到，同时论证出对微积分而言，无穷小和非平凡极限都是不但不需要，还是因其错误必须抛弃的“赘物”，那立刻就会理解或体会到王文素的伟大。理由很简单，他的理论或做法，从一开始就没有这些“赘物”，具体说就是没有这两个已经找了大家几百年麻烦的“宝贝”。因此之故，我完全有权也有资格呼吁，今后国内的微积分教材，应该把王文素看做是世界微积分第一人（直到如果发现还有其他人比其更早为止）！

这里不妨再重复一次极限法微积分求导（更确切地说，应该是“非平凡极限法”或“不存在的极限法微积分”。所谓的“第二代微积分”，或“标准分析”）的问题所在，以此衬托王文素导数的正确性。

非平凡极限法微积分的导数定义就是求分母上是自变量△x 的一个比式△y/△x（笔者称其为“非平凡比式”）在其自变量△x → 0时的极限值（非平凡极限）。这个极限不仅仅是不可达的（其函数值公认是无意义的0/0），而且是“非平凡”（客气的讲法，照顾面子的讲法。套话。其实就是“非正常极限”）的，其实不客气地说，就是错的！不成立的极限！因为显然，无论牛顿、莱布尼兹还是柯西、外尔斯特拉斯，求导之前（或说求导过程中、过程的一开始）都要有通过约分消去分母上的自变量△x这一步。且不说笔者一再强调的只要一约分，分母上的自变量△x其实就是自动为“1”了，而不是无端地“没有了”。这些且不论。我们说，既然消去了分母，举例，比如对△y/△x = （2x + △x）•△x/△x我们消去了分母△x后为（2x + △x），再对后者求△x → 0时的极限值。那么，只要有人硬敢说△y/△x = （2x + △x）•△x/△x与（2x + △x）的△x → 0时的极限值是一样的，那么，既然“一样”，你凭什么不在一开始就把导数的定义写成（2x + △x）在△x → 0时的极限值？不是一样吗？如此写，不行？为什么非得写成是△y/△x = （2x + △x）•△x/△x在△x → 0时的极限值？更何况所有的教科书中实际直接求的，还就是没有了△x/△x的（2x + △x）在△x → 0时的极限值，而并没有直接从△y/△x = （2x + △x）•△x/△x这个比式来求其在△x → 0时的极限值。你说反正都一样，那好，既然都一样，就写导数的定义为（2x + △x）在△x → 0时的极限值可不可以？敢不敢？凭什么就不可以？说出理由来。如果心虚了，说可以吧，敢啊（不可以也不行啊，逻辑上说的通吗？）。那好，既然“可以”，也“敢”了，那2x + △x是什么？不就正是割线方程的系数也就是割线的斜率啊？当无论 △x = 0还是△x → 0（此时无分母问题，二者都一样，是一回事），或干脆就如王文素所做的，不理睬它，最后得到的2x，不就是二次曲线在x点的切线斜率啊？也就是切线方程的系数。这个求导法，涉及分母没有？还有贝克莱悖论的问题没有？而这正是王文素、在下，也许还有Range所作的。也是微积分求导应该有的，其实也就是所有传统微积分求导（无论牛顿、莱布尼兹、柯西、外尔斯特拉斯等等）实际所能做到的，但却没有认识到其意义的。传统微积分求导，虽然其实也是具体这么做的，但却一头扎进无穷小、非平凡极限的泥淖之中而不能自拔。

总之，无论牛顿、莱布尼兹还是柯西、外尔斯特拉斯的西方传统微积分求导，都是基于函数y与自变量x的增量的“非平凡”比式 k（x，△x）•△x/△x的。尽管他们在实际操作中都消去了△x/△x（也就是“不写了 ”），直接针对 k（x，△x）求导，但他们对导数（瞬时速度）的定义式，是毫无疑问地是针对比式 k（x，△x）•△x/△x的。只不过他们都误以为对趋 0极限而言，k（x，△x）与 k（x，△x）•△x/△x等值而已（这当然是错的，由此才有的贝克莱悖论）。而王文素不一样，他在附录中的（3）式中，实质上实际是直接由只涉及增量（而不是增量比！）的 k（x，△x）•△x（注意，在（3）式中h就是x，k就是这里的△x。高阶的△x都已经被舍弃了）求的导数k（x，0）。这与笔者和Range的做法实际上是完全一致的（具体做法上可以有所差别）。对应笔者的“导数（瞬时速度）新定义”（也许Range也得到了这个定义，待考）而言，这几乎就是顺理成章的事，根本就无涉什么无穷小和非平凡极限之类终归会产生矛盾且根本就解释不清的概念。而在王文素140多年之后才产生的经典微积分，却反而多出来了这些矛盾与麻烦。这个意义上，王文素不是什么领先西方微积分140多年的问题，而是他的完全正确的微积分领先西方有瑕疵、有矛盾（贝克莱悖论）的微积分140多年的问题。也可以无愧地说，他作为一个完全正确的微积分导数概念（乙方）的得到者、提出者，是领先笔者（也许还有Range）的正确的微积分导数概念的提出早500年的问题！请问衮衮诸公：这样的人（中国人、山西人、汾阳人）不伟大，还有谁伟大？我想，对中国古代数学充满崇敬和深入研究的吴文俊先生如果还在，他是一定会非常高兴的。正确的导数概念的提出并运用于计算的，起码是500年前的中国人王文素（如果是他钩沉出的古法，那时间还要早！待考），而拨乱反正、正本清源的工作，不能不说是笔者在其500年后完成的。

一句话，微积分的真谛，其目的很明确，就是用于计算的。无论在牛顿那里，还是莱布尼兹那里，都是如此的。至于为什么冒出来了很多诸如无穷小、极限之类的半哲学概念，是因为他们都用的分母为自变量的增量比值函数这个特殊的函数来开展微积分导数相关的工作。这是不得已。而并非微积分的计算本质、初衷所要求的。况且如此一来，整个微积分理论给弄的无比复杂费解，且本质上还就是有矛盾的（贝克莱悖论）。这个矛盾的缘由，其实本质上就是分母为自变量的增量比与无分母的增量之间在0点的表现差别的矛盾所致。它们一个的无论函数值还是极限值（非平凡极限）都是0/0，一个却是正常的（比如2x等等）。尽管极限法微积分（所谓“第二代微积分”、标准分析）声称自己已经解决了这个问题，但实际上远远没有，这从笔者系列文章中的分析可以看出 。而王文素从一开始就没有把整个理论建立在分母为自变量的增量比函数上，他直接了当地从增量函数得到的导数（乙方），因此干净利落地与什么无穷小、非平凡极限一类的概念进行了事实上的切割。因此自然根本就不会再有什么矛盾（贝克莱悖论）。而500年后，笔者得到的正是这点。只不过王文素根本就不知道在其140年、200多年后发生了什么，因此完全没有机会对无穷小、极限等等有问题的“理论”发表看法。而笔者是与大家一样，先被这些似乎板上钉钉，写入教科书的，大部分人深信不疑的一套所误导，然后才经过艰苦的思辨才从该泥淖中爬出来的。因此，说笔者是正本清源，无形中返回了500年前王文素的简洁、正确导数观念亦不为过。

更何况在逻辑上，如果我们说在0点函数值为无意义的0/0，因此定义域不包括0点了，而定义域不包括0点，就可以约分消去分母上的自变量。而消去后，就可以有0点的有意义的非0/0型的极限值；那么，在逻辑上不是也可以仿上面的说法但反过来，认为在0点的极限值为无意义的0/0，因此极限函数的定义域不包括0点，约分消去分母上的自变量后，不也可以同理求出0点的非0/0型的函数值了吗？即：无函数值，有极限值，与无极限值，有函数值，两种截然相反的结论所运用的逻辑，不是一样的吗？如此，也足可见极限法之无道理。更何况就算是对分母不是自变量的一个平凡极限，都不应该以其不可达极限值去充当函数值。比如，函数x，x≠ 0，即在0点无定义。但有x → 0作为0点的不可达极限。然后又任命这个不可达极限0就是x函数在0点的函数值（x函数在0点又有定义了！），有这么干的吗？与其如此，x在0点本来不就“可以”在0点有函数值0的吗？有何比非要不去定义而以其在0点的极限值0来再定义？多次一举究竟为何？

三、康托对角线法引出的所谓“实数不可数”问题与微积分导数问题在逻辑上的类比

事实上，正如笔者系列文章所分析的，对比康托对角线法声称证明了实数的不可数性。但实际上，正是需要先假设了“实数不可数”，才能使用康托对角线法。为逻辑循环。它只是表面上先假设了“实数可数”，图具反证法的形式。但实际上，由于多进制下每一位可以对应不止一个数这个隐含的前提，因此作为多进制之所以提出的目的，就是位数不能与其能表达的所有数一一对应。或其目的就是用较少的数（或“位置”。这里是位数）去尽可能多地表达更多的数，以节约所占空间位置。因此对角线法的运用前提，等于要有一个隐含的实数不能与某自然数序列一一对应的前提、假设。具体说就是，它先假设了所列实数与一个自然数序列A（位数）一一对应上了，然后必然就不能再与多进制下的位数（作为自然数序列A）可以表达的同样也是自然数的自然数序列B一一对应了。于是，康托对角线法所实际证明的，实质是“在所列实数与自然数序列A一一对应的前提下，不能再与自然数序列B一一

对应”这一点而已。 因此，这个证明并没有证明实数在任何情况下都不能与自然数序列一一对应。正如你不能假设先假设一个自然数序列a一一对应于另一个自然数序列b的偶数序列。然后令某集合先与自然数序列a 一一对应，但由于a已经与b的偶数序列一一对应了，而b的偶数序列是b序列的一个真子集，此时不能再一一对应了，于是该“某集合”不能与自然数序列b一一对应。然后就此得出结论说如此证明了该“某集合”在任何情况下与自然数序列都不能一一对应。这当然是错的。

极限法微积分也类似，从约分消分母上的自变量才能得到在0点有非0/0的、有意义的趋0极限值。而实际上，正是要有非0/0型的极限值，才能约分。因为笔者早就分析论证了，对分母上的自变量约分就是把其变为“1”，或起码也是任何非0值（就比如“5”）。总之等于什么都可以，就是不能等于0。换言之，趋于什么都可以，就是不能趋于0。这是约分的结果，也是约分的前提。因此，完全没有，也就是不能说约分消去分母求出了非0/0型的有意义的极限，因为这种约分的前提就是不能有0/0型的极限值。典型的循环论证或逻辑循环，不成立的。

总之，想通过约分拿掉（抹去、消去）公式中的△x/△x，只有令其等于非0/0的1/1或起码也是任何非0/0的比如5/5。但同时，约分的前提又是△x/△x中的△x不能等于0，即不能有0/0，△x可以等于任何值，比如1或5，但就是不能等于0。既然△x不能等于0，就是只能是1或起码是比如5之类的非0数。而△x无论是1还是5，能由△x→ 0 得到吗？也就是说，想用约分来得到增量比式的在0点的极限值是不可能的，这必然陷入逻辑循环或逻辑矛盾之中。

四、王文素在中国古代数学传承中承上启下的重要意义——世界数学史必须改写

行文至此，笔者真的是无比地激动！笔者早就心存疑虑，一贯长于计算、算法的中国古代数学，何以竟然没有发明微积分这一计算利器、算法利器？总觉难以理解。因此笔者总是安慰自己：怕是失传了，或淹没在哪个故纸堆中了。现在，一个极其偶然的机会，使得笔者知道了500年前的王文素及其成果，可以与之神交了。这终于印证了笔者内心的感觉、直觉，就是中国古代应该会出现这样的成就！而且事实上还大大超出了笔者的预期：王文素在500年前，早于西方牛顿他们140年，提出的还就是笔者费了不少劲才搞定的无瑕疵的、完全正确的、无矛盾（贝克莱悖论）的、简洁的微积分导数。而牛顿导数观之庛，大家还都认账。而柯西等的非平凡极限法之庛，大家居然不是看不出来，就是不愿意“看出来”，被什么极限之类的华丽说辞一绕给绕进去了。由此观之，此庛，不仅是庛，实为大庛、恶庛。于是我们终于可以坦荡地、也是实事求是地说，王文素他不仅仅是已知最早得到导数及其应用的人，而且更重要的是，他是得到完全正确的导数（乙方）概念的人，也就是笔者的所谓“新导数定义”。他实际得到的，就是这个东西，尽管他没有这么明确地说出来、给出明确的定义。但他确实实际地做出来了、得到了。白纸黑字写在那里，不承认也不行。笔者在微积分理论诠释方面可谓“拨乱反正”，而王文素在500年前，牛顿等的140年前，根本就没有“乱”，他当然无须“拨”什么“乱”。那些“乱子”是在他140年之后才出现的。

总之，仅就正确的、无瑕疵的微积分导数的提出而言，王文素不是比牛顿他们有公认瑕疵的微积分早140年的问题（他们以及其后100多年的柯西、外尔斯特拉斯等的导数的极限诠释仍旧有误，但更隐蔽。但恶劣的是，这个诠释几乎被所谓的“主流”看成是完全正确而无矛盾的），而是比我和Range（他是否“够格”，资料还不够充分。仅从李红玲教授的简略介绍来看，似乎应该如此）早500多年的问题。笔者过去曾暗想（不可明说，得由人家来说），微积分肇始于300年前的牛顿、莱布尼兹，而正确无误的导数诠释竟然终结于在下。但现在看来，并不是！微积分正确的导数的得到与应用，起码肇始于500年前的王文素（当然可能更早，王也许是引录前人的方法的。待考）。笔者不过是“千辛万苦”，从无穷小、非平凡极限法微积分误导的泥淖中“爬出”重新得到了500年前王文素早就得到的东西而已。王文素何其有幸，没有经历过什么“分母是自变量的非平凡极限（根本就不存在的极限）”之类的说辞的误导，他直接了当、干净利落、无比自然地就得到了含义正确的导数（而我在500年后却不得不将之名之为“新”导数定义以区别于牛、莱、柯、外的导数定义 ）。我是“正本清源、返璞归真”，而王文素其实在500年前就是“正且清，璞且真”的了。这个意义上，毫无疑问，王文素就是导数（他叫“乙方”而已）第一人，微积分第一人！

具体地说，微积分的本质其实就是针对函数宏观意义的、通常意义的增量的计算、运算。而根本就不必涉及无穷小、非平凡极限这样的偏哲学概念。王文素从500年前的一开始就是如此做的，而笔者是从头重新认识到这一点的。在这个意义上，初等数学与高等数学根本就没有通常人们认为的那些本质的区别。我们这里涉及的是微积分的正确概念的开始，当然不是指的其后续发展即内容的不断丰富。明朝之后的后继乏人，不能算到王文素头上。他开了个好头，没有后来人，能怪他？能否定他率先得到正确的导数这一点？我们这些500年后的“今人”需要做的，是不能继续无视他的贡献。500年前没有伯乐（王曾感慨。见本文后面引述的他的诗作），难道过去都500年了，还没有？难道还要再等500年才有伯乐出吗？赵擎寰等先生可算伯乐，但惜乎早逝（06年 ），当今识者当继之。

特别提一下，赵擎寰先生曾说：“对于17世纪微积分创立时期出现的导数，王文素在16世纪已率先发现并使用，因而，只从微积分的角度探索导数的起源是不够的。由此看来王文素对世界数学的贡献还应更深入的研究。”

他这句话尽管对王文素评价很高，但容易、也已经引起了误解：似乎王文素虽然提出导数是提出了，但不是用的微积分方法。理由大概不外是没有使用无穷小或者极限，不敢提他搞的就是微积分。还说要“更深入的研究”。实际上，这给了那些倾向于民族虚无主义的人以口实。“你看，你们自己都不敢承认王文素搞的是微积分吧？”。但依照本文及笔者系列有关文章揭示的，真正的、无矛盾的微积分，就该是王文素这个样子的，无非平凡极限和无穷小概念的，只涉及增量的。由于没有吃透这一点，赵擎寰先生惑于极限、无穷小概念，因此未敢大方地把王文素导数（乙方）与微积分直接挂钩。给人一种印象，似乎王文素白纸黑字是“写出”导数（乙方）了，但他自己未必知道导数为何物似的。其实，正如笔者所言，此点完全过虑了。王文素不但最先提出的导数，而且是最先提出了完全正确的导数。而140年后牛顿他们才是真正提出虽然数值正确，但概念上有矛盾的导数。也就是说，王文素与牛顿他们的地位完全应该颠倒过来：不是王没有明确给出导数的确切含义，而是牛顿（包括更晚的柯西等）等给出的“舍弃高阶无穷小”、“最终比”、非平凡极限等概念用于解释导数是错的。因此，必须理直气壮地给王文素正名！赵擎寰先生如果再生，当可释然了。

此处，再一次对所谓的“非平凡极限”做一点论述。柯西等的“极限法求导”，是没有提到什么平凡不平凡的问题的，在他们眼里，其所使用的极限就是极限，没有什么可以“非平凡”的。但是实际上，在笔者的分析下可以看出，他们在求导过程中所使用的极限，绝对不是正常的极限，而是很不正常的极限。具体说，就是笔者一再提到的分母为自变量的一个比式在自变量趋于0时的极限。这个极限不一般，其实它的极限就是无意义的（也可以说是“非平凡的”）0/0，与其函数值一致。理由前面及前期文章都讨论的很充分了，不再赘述。因此，不认可或对这个“非平凡极限”提出异议，并不是对全部极限概念提出异议。很多人其实连这个也搞不清楚。不得不在此多说两句。

五、微积分优先权的问题，该不该争？

关于该不该争论微积分求导优先权的问题。还用说？当然该争。中国人不争，晋人不争，汾人不争，谁给你争？美国人会给你争？欧洲人会给你争？须知，当年牛顿与莱布尼兹及同时代人还争得不亦乐乎呢，我们何必如此“清高”。不给国人争，等于是给外国人争。不是不争，外国人早就在那里争了【6】。而一些国人，居然不知是无知还是故意，也在帮着外国人争。比如有某些学者在大庭广众之下，当着莘莘学子的面大言不惭地说什么“中国人在历史上对科技的贡献等于0”什么的。此类无知谬论必须严厉反驳。当然，这也是过去对中国古代文献掌握不充分所致。但不懂，就应该老老实实地学，而不是张口胡说误导青年。这方面吴文俊先生给我们做出了杰出榜样。他甚至曾说他一生最大的成就，就是对伟大的中国古代数学的重新认识。所以该不该争这个问题是一个伪命题。还有些人拿韩国一些人的过度争不合理的优先权来说事儿，似乎谁争论，谁就与个别韩国人似的狭隘了。我们说，不合理的、无理的争，当然不可以，但这不能否定合理的，有根有据的争。在如此重大的科学史优先权问题上，实事求是地返璞归真，当然有利于提升民族自信心。也可以彻底反驳那些认为中国古代无科学可言的无知言论。比如数学大家吴文俊先生就说过，他过去也认为中国古代数学无足轻重，但真正了解研究下去，认为不得了，很多东西都是领先西方的。吴先生总不是吹牛的人吧。吴文俊先生特别著文大为赞赏与推崇«九章算术»对无理数的定义方式，认为比直接将无理数定义成无限非循环小数要合理、自然的多。并且坦荡地指出首先看成、指出此点的另有其人（具体人名我忘了）。吴先生高风亮节，比那些明里暗里抄袭别人成果的人不知道强多少倍，没法比。如果吴先生得知王文素率先得到而且是得到了正确的导数这回事的话，我想他一定是会“高兴坏了”的！起码在无理数的定义、给出和微积分导数（而且是正确的导数）这两个方面，中国古人都无疑是领先的。况且就是在500年后的现在，西方也没有人给出正确的微积分导数的诠释（定义），当然也许Range除外，这个需要进一步的了解、考证。至于国内，在下就不客气地啰。

这里，笔者不得不再一次澄清一下：笔者诟病极限法微积分（准确地，应该是“非平凡极限法微积分”），并不是笼统地、一般地否定极限。在与一些人的讨论中，笔者发现，很有些人搞不清笔者的意思，以为笔者认为所有的极限都不存在似的。这实际上当然不对。笔者诟病的，是极限法微积分（其实应该更准确地称其为“非平凡极限法微积分”或“非正确极限法微积分”、“非正常极限法微积分”。理由前面即笔者系列有关论文中已经充分地讨论了）。具体说，就是一个分母为自变量的比式的趋0极限。也就是前面说的△y/△x 这样的式子的在△x → 0时的极限。它本不存在、或说实际也等于与其函数值一样的、无意义的0/0。而无分母或分母不是自变量的非比式的极限，比如二次函数下的2x + △x 这样的式子的△x → 0下的极限，当然是有的，它与其函数值是一致的，凭什么没有呢？问题仅仅是，传统上认为非平凡的一个比式与一个非比式的趋0极限是一回事，而笔者只是认为、揭示、论证了它们不是一回事而已。

总之，对微积分发明权、发明人的正本清源，有助于提振我们的民族自信心。当今之世，这一点还是十分重要的。有人说争这个没有什么意思，这个说法当然是不对的。当年牛顿、莱布尼兹为了类似的事情，还争的一塌糊涂呢，而且牵涉到几十年间英国与欧洲大陆之间学者间的抵牾。因此，事实证明，即使在西方，该争的也还是要争的，绝对没有那么超脱。换言之 ，中国人的成就 ，中国人不去争，谁还为你争？事实上，西方部分人人有意无意或说刻意贬低中国古代科学、数学成就的，他们并不都是圣人。更何况、而且是最重要的，王文素的成就，是实实在在的。无论时间还是内容。因此，这是本质是一个实事求是的问题，还不是一个单纯的争名誉的问题。

笔者不是一个随便乱说话的人，没有十足的把握，不会轻易下结论。因此，对王文素微积分成就的评价结论，应该是经得起历史考验的。

六、拨乱反正意义下的极简微积分概念发展史纲要

对于微积分概念，或导数概念发展史，这里可以提出一个极简版本（作为一部真正意义的“信史”）：

1、明朝山西汾阳人王文素在500年前出于求高次方程的目的（实际就是曲线方程、非线性方程），得到或提出导数（乙方）概念。并且正式运用其于解方程和插值运算。他直接针对的就是函数增量，完全无涉无穷小、非平凡极限概念。这是正确的。他已经得到正确的导数概念了，当然也就不会也不可能去评论、分析、指正140年后才出现的无穷小、非平凡极限之于导数概念的谬误之处了。王所得到的导数（乙方）的途径，完全是基于增量方程而不是增量比值方程，因此根本就不会产生贝克莱悖论的矛盾。这与500年后笔者和Range（尚待详细考察）的思路是完全一致的。

2、140年之后，也就是大约300多年之前，牛顿、莱布尼兹先后提出微积分导数概念。但他们都是基于增量比值函数的，也就是分母是自变量的分式的。这就涉及“约分”消去分母上的自变量的问题。因为没有参透这一步骤的真谛，所以不能不产生贝克莱悖论的矛盾问题。

3、贝克莱正式提出其贝克莱悖论（约几十年之后）。实际上，牛顿和莱布尼兹不待贝克莱提出这个问题，他们自己一定也是知道的。这反映在牛顿一开始基于无穷小，后来又改成“最终比”（其实就是非平凡极限）；而莱布尼兹正相反（见微积分概念发展史）。

4、由于贝克莱正式提出贝克莱悖论，而且作为一个神学家，大有辱慢不信神的数学家、物理学家的意思，这才引起数学家的重视。柯西、外尔斯特拉斯等先后正式提出极限法（实际是非平凡极限法、非正确的极限法），通过一些煞有介事、叠床架屋、概念变换的神操作，把无穷小与非平凡极限所产生的问题（贝克莱悖论）掩盖了起来。于是似乎天下太平了。但其实问题依旧，这个笔者早有详细的、无可辩驳的论证。但必须强调，在数学史上很少提及的掌故是，大数学家欧拉并不同意这种“极限法”，他认为导数就是该导数点的函数值，尽管其为0/0。但必须承认有这个东西，其后才是怎么处理的问题。特别应该大书一笔的是，伟大的马克思（还有恩格斯）对数学（主要是微积分）极有兴趣，视其为第二学术。他的看法与欧拉是想通的。他明确提出，导数“就是该点之值，完全不需要数学家的什么趋于它却永远到不了它的昏话”（大意 ，见马克思«数学手稿»）。但欧拉和马克思的观点，几乎完全被中外数学界所无视或边缘化，鲜有人提及。这只是反映了这些人的无知和傲慢。据说当年还有人说什么“为了维护马克思的英名，根本就不该出版«数学手稿»这样不成熟且落伍的东西”。但其实欧拉与马克思比之这些人实际上要高明的多。国外、西方我就不多说了，他们现在骨子里是反马克思主义的，难免殃及马克思的数学观点。而国内我就看不懂了，不是推崇马克思的吗？为什么完全无视马克思对微积分的思考与贡献？这不能不说是国内马哲、数学史、科学史、数学方面的学者的缺失或失职。尤其是马哲，你研究的就是马克思主义哲学，为什么反而对马克思对极限法微积分的质疑一字不提？

5、从兹200年于今，数学家们在这个问题上就算有了交代（反正也没见什么人再提出什么问题了，贝克莱也死了，不能再说三道四了），就算大功告成了。于是有关非平凡极限法求导的微积分教材（在笔者看来就是故弄玄虚的）“ε-δ”的一套让学生们不胜其烦的说辞大行其道，类似教材竟然相互传抄，以至汗牛充栋。至此，无须乎多言，在这个问题上，早已形成了不太小的小圈子式的利益集团、面子集团（美其名曰什么“学术共同体”）。其一损俱损，一荣俱荣。而学术，早已不复当年王文素、牛顿等诚实求真的传统了。

6、进入2010年代，笔者从代数法入手，提出导数的所谓“新定义”，进而在此基础上彻底澄清了传统微积分究竟为何如马克思所言，“从明显有问题的推导却得到了完全正确的导数”的缘由。这都是对约分的定义的忽视所致。因此返璞归真，彻底解决了贝克莱悖论问题，使得微积分回归其本原。也许，美国的Range教授也明乎此。但还需要具体考证。

7、只是在前几天，笔者才偶然在网上发现500年前的明代山西汾阳人王文素对微积分导数（乙方）的提出与得到途径，与500年后的笔者不谋而合（可能还有美国的Range，待考），都不存在贝克莱悖论。王文素当然没有指出非平凡微积分求导之误在何处，因为此类说辞在其身后140年到200多年才出现。他无机会也无“义务”为其百年之后的错误来澄清什么。这个工作是笔者完成的。

8、近几十年来，不断有学者对非平凡极限法微积分求导从不同角度提出质疑的。这与欧拉、马克思是一脉相承的。比如师教民、杨文彪等等（有些名字一时想不起来了，待以后完善。有些笔者可能还不知道）。尽管在极限法最为要害的地方给以致命一击的是笔者 。对于极限法微积分求导的派生问题（二级问题）的自变量的微分定义问题，也就是自变量的微分不是函数微分的线性主部，而就是其增量本身的这个定义，先后提出的人就更多了。其中最有名的是南京大学学术泰斗级的人物莫绍揆。这是数学、逻辑学公认的大学问家。更早有朱启定（1978年）、师教民、梁赞臣等，晚些有丁小平等。还有不少人。这些人都属于敢为天下先的，比同期对微积分求导问题完全无感或不敢感的那些人不可同日而语，不应被无视。还有一些学者，认为基于非平凡比式（分母为自变量的比式）的非平凡趋0极限法求导是有缺点的（虽然没有彻底否定，但其实是事实上否定或否定其一部分）并明确提出改进方案的，国外有。这里只提国内的，比如林群院士、张景中院士 、李红玲教授等。师教民、丁小平、杨文彪等，也先后提出自己的解决方案或过渡解决方案。至于这些方案的进退得失，笔者此处不做评论了，请读者自辨之。但无论如何，努力方向应该肯定。这亦是有关史实的一部分。

微分的定义问题，实际马克思早就提出了。他是始作俑者。见梁赞臣的文章。马克思数学手稿中的一些思想，比不但当时，而且就是比现在很多吃数学这碗饭的人也强的真不是一点点。比如，马克思认为微积分是由明显错误的方法得到了正确的结果。又比如，马克思认为导数的不断趋近而又不能达到是胡说，昏话（翻译不同）。认为导数就是0点之值，实实在在的，根本就不是什么虚无缥缈的不可达极限。马克思数学手稿多年来被吃数学饭的某些人晾在一边，或攻击为不靠谱，等等。其实在现在看来，马克思到底是马克思，就是比这些人强不是一点点。不是一个级别的。我不说瞎说的，看我的文章就可以知道。天不假年，如果给马克思几年寿，说不定马克思早就彻底解决这个问题了（沿他的思路），何劳我辈絮叨？不过自变量的微分定义问题其实不是本质的、核心的问题。核心问题仍是导数。微分问题是一个次生的问题。单纯解决不了的。也就是，如果不对导数进行重新认识，永远解决不了这个自变量的微分问题的。

说一句振聋发聩的话吧。“天下学子苦微积分久矣”，实际应该是“天下学子苦极限法微积分久矣”。而500年前的王文素，完全没有受到牛顿、莱布尼兹所谓“第一代”（晚了140年）和柯西、外尔斯特拉斯的所谓“第二代”（晚了200多年）微积分导数观的污染，因此极端的干净利落。没有任何非平凡极限法的拖泥带水、无理强辩的东西在。而笔者则是彻底地揭示了传统微积分的问题所在，返璞归真，回归微积分、导数的真谛。在王文素那里几乎就是顺理成章、极其自然的东西，被西方传统微积分诠释误导这么多年后，拨乱反正、重新给以正确的诠释是不容易的。这个事情是我彻底完成的。按照王文素的做法的本质和笔者的诠释来处理、解释微积分导数相关问题，会变得极其简单明确。无论对教学还是后续科研创新，都是极其有意义的。更不用说这还是中国人完成的，无论是500年前还是500年后。

吴文俊先生曾经说过（前文已引），微积分实际上是中国数学的路子，更是中式数学战胜希腊式数学的历史必然（大意）【6】。这是吴先生在上世纪七十年代在完全不知道王文素工作的情况下说的。可见吴先生眼光之敏锐，全局观之把握，确实胜人一筹。现在好了，有了王文素工作的揭示，确实印证了吴先生的直感，并且顺理成章地补齐了中国乃至世界数学史、微积分史的短板：按中国古代数学思路的发展脉络，几乎不可能不发展出其初衷就是运算实际问题的微积分这样的东西。吴先生几年前逝世了，如果他健在，知道这点一定是会非常高兴的，我想。

总之，中国古代数学的传承实质是什么？实际上笔者以为，就是数学对整个人类知识（物理、化学、材料、社会等等）的仆人地位。它的出现，就是为它们服务的。说句笑话，数学的发端或许就是为了数钱，呵呵。这其实是数学的本来面貌。当然，它同时也是人类知识的一部分，而且是很重要的一部分。而古希腊的数学，众所周知，甚至具有“神”的进而连带地“神秘”的地位。在他们那里，数学、起码是所谓的高级数学，不是仆人而是高高在上、傲视群雄的主人、帝王。最典型的就是无理数的发现导致发现人被处死的问题。中国古代数学，就是为了运算，为了解决实际问题而生的，其实这才是数学的真谛，也是它的本来面貌。中国古代数学就是一个简单、精炼、实用、一语中的、绝不拖泥带水。而西方数学传统，难免繁琐、故弄玄虚、强词夺理。其优点也许是严格，但实际上正如康托对角线法问题，实数不可数问题，微积分求导问题等等可以看出，有时候这种所谓的“严格”，其实是一些“伪严格”，有错的“严格”。微积分就是用来计算的，而不是为了让人们去搞什么哲学化的无穷小、不可达极限之类的概念的。这是大家所应该牢记的。至于过去不得不走到这一步，那是有些东西没有搞清所致。现在既然清楚了，就应该返璞归真了。

此外，华罗庚、王元在上世纪五十年代也有一文【7】，言及其实很多数学问题无需极限概念就可以用差分（其实就是“增量”）求得，这实际上就是华老常年在数学科研、教学中自己的体会与感想。显然，他们也是认为对很多问题的求解而言，极限法是很累赘的东西，有时根本就无必要。当然他们没有更其深入下去，但感觉无疑是远胜同时代的其他人的。在笔者看来，这从侧面也反映出了传统极限法微积分的问题。

不得不感慨，王文素生前，几十年皓首穷经，怀才不遇，没有受到重视（从其诗词中可以看出），以至其煌煌巨著都没有刊刻出版、公之于世。500年前的明朝之事，我们管不着了，但500年后的当今，难道我们仍旧没有长进，与 500年前一样，对其成就不闻不问、任其蒙尘吗？搞科学史的衮衮诸公，本应以提振民族自信心为己任的有关部门和人物，难道不感到失职吗？

引王文素诗词 ：

身似飘篷近六旬，留心学算已年深。苦思善致精神败，久视能令眼目昏。铁砚磨穿三两个，毛锥乏尽几千根。如风扫退天边露，显出中秋月一轮。

暖衣饱食际雍熙，算数林中论是非。

陋室半间寻妙理，灵台一点悟玄机。

犹如月到天心处，活似风来水面时。

料此一般清意味，世间能有几人知。

诸家算籍甚差讹，暮玩朝参已证磨。

有意刊传财力寡，无人成就恨嗟多。

鲁麟直得逢尼父，楚璧须还遇卞和。

良马若非遇伯乐，盐车困死告谁何。

七、微积分教材及数学史方面的修改建议及理由

建议：以后所有的微积分教科书或科学史方面的书，都应该载入王文素对微积分求导及其运用的贡献。即使本文所提到的新诠释还没有广泛被人理解，也并不影响其微积分发明权的归属问题。比牛顿早140年，还有什么可说的。更何况牛顿等的微积分、导数也并不完善，这是公认的，否则还要柯西等的“第二代微积分”何干？既然微积分的创始不以大家误以为的“正确的”柯西非平凡极限法为准，那即使就算王文素的微积分导数（乙方）提法有缺失（其实前面说了，绝对不是这么回事），凭什么他就不是微积分的创建人？崇洋也不能崇到不顾事实的地步吧？须知，西方除少数人如李约瑟，大部分人正如其不会把科技专利、新技术诀窍等等轻易与我一样，其也绝对不会把古代科技创新的桂冠轻易地给我们戴上的！这一点要有清醒的认识。别把西方一些人当什么能够“客观公正”的圣人。自己都不弘扬，无人为你弘扬。自己都不自豪，谁还替你自豪？

笔者不禁感慨，赵擎寰等学者之后，关于王文素微积分成就的讨论与弘扬似乎归于沉寂。我只是在最近及其偶然的情况下才了解到还有这回事的。笔者认为，过去就算了，大环境就是一个崇洋否己氛围，而现在不一样了、起码是应该不一样了！西方一些人、美国一些人，图穷而匕首见，彻底撕下了客观公正的假面，其贬低我们的，未必只限于现代。对他们而言，最好你连古代也不行。对这些我们一些人要看透，要充分认识。总之，弘扬古代、历史的辉煌，绝对有助于提升我们的民族自信心，绝对有利于我们攻坚克难，突破科技瓶颈，打破美、西的科技封锁，使得自己真正的崛起、屹立于世界民族之林，取得我们应有的科技地位。这是可以实现的，理由很简单：历史上我们曾经部分地实现过了。比如明朝的山西汾阳人王文素！笔者实际上还有一点小小的想法：我中华泱泱乎大国，一些人浑浑噩噩沉浸其大，不在乎王文素这点小誉，但仅就桑梓情怀而言，山西人、汾阳人岂可坐视？难道前面对国人说的话还需要重复对你们再说一遍吗：作为王文素的老乡，你们自己都不弘扬，谁还替你弘扬？自己都不自豪，谁还替你们自豪？因此，笔者认为，山西、汾阳有关人员和单位以至全体山西、汾阳还有那些以“大槐树”为宗的人赶快行动起来吧，把你们的文素老乡“转起”搞搞火吧！在“抖音”上也抖抖吧！与其树“大槐树”这个木，还不如树“王文素 ”这个人！别继续让给你们山西人、汾阳人以至中国人挣了大面子的你们的老乡王文素先生继续如500年前一样地被埋没下去了，别让我这个在山西插过队、对山西很有感情的非山西人独自一人地为你们的老乡、你们的骄傲“鼓与呼”了。我唯一可以保证的，是你们这位老乡正确的微积分发明人的地位（提出“乙方”）绝无问题，板上钉钉。王文素的成就摆在那里，值得你们理直气壮地去充分“肯定”的。如果有无知者说你们“吹牛”，就按此文思路逐条反驳这些人好了。

总之，在如此国际形势下，砥砺民气，于今为要。这个无需笔者饶舌。取得引领世界的成就，古人可为，当今反不可为？由此可见，这绝对不仅仅只是一个科学史实的正本清源问题，而是一个提振民气使可用的问题。

故此，笔者此文，望识者（特别地山西人、汾阳人、所有“以大槐树为宗”的人）多多转发，以广民族、桑梓振兴之光。

500年前的王文素，面对世人的冷落，著作的刊刻无望，不禁感叹道： “良马若非遇伯乐，盐车困死告谁知”，“有意刊传财力寡，无人成就恨嗟多”。

500年前无伯乐，500年后的现在，仍旧无伯乐乎？难道还要像一首歌中所唱的，“再等500年”才有伯乐出吗？

此文刚写完，还未修改校对，又发现一条信息：

⚠对于17世纪微积分创立时期出现的【导数】，在王文素16世纪收集之前，早已在民间普及使用。

如是真的，就证实了笔者的想法。导数的提出比王还要早！

补遗一

上文基本完成后，对王文素法，笔者又有些新的心得。就不费心插入上文了，索性作为“补遗”单独成篇（仍以最简单的二次函数为例）。笔者的求导思路见图1，王文素得到导数的途径为图2所示。图1中笔者把曲线相关增量△x与作为直线的割、切线的相关增量△g等区别开来，是基于笔者提出的“新导数定义”。当然，如果能够严格分清曲线与割、切线的区别，作为自变量，曲线与直线当然是可以共用的。因为此时在新定义下，我们完全不必在增量比值函数△y/△x下讨论问题，而就在增量函数△y = （2x + △x）•△x下讨论即可。当△x = 0或△x → 0时，此式有0 = （2x + 0）•0 = 2x•0 =k•0，k = 2x就是切线的斜率。它与切线的增量△x与△y 为不为0，趋不趋0没有关系。因为斜率是一条直线所固有的，是直线上任何两个点的纵横坐标差，不取决于特定的点。这也是美国纽约大学的Range的做法。当然，Range是否充分认识到了导数与曲线上的两个点无关，而只与曲线的切线上的两个点有关，导数就是切线本身的宏观、传统意义的斜率笔者还不是很清楚（资料有限）。通常一般以为，说导数是切线斜率，只是数值如此，它本质上还是曲线本身的性质。这当然是错的，是产生贝克莱悖论的根本原因。马克思曾经写道，0/0是有意义的，即0/0 = 2x = k。因为理由也是0 =（2x + 0）•0 = 2x•0 =k•0是完全成立的。当然，这种看法是走到了真相的门口，但还是没有迈出最后一步。0/0还是不允许出现的，它不是像以往以为的那样是“可以等于任何值”，而是如笔者论证的“不能等于任何值”（见笔者前期相关论文）。王文素得到导数（乙方）的思路，见图2。他实际是把函数的增量△y = 2x•△x + △x2，不再看成线性函数（割线）△y = （2x + △x）•△x = k（x， △x）• △x，而是就看成曲线的增量△y = 2x•△x + △x2的线性部分2x•△x与非线性部分△x2的叠加。而不必取或令△x趋于0或等于0，而是直接取△y = 2x•△x + △x2的线性部分2x•△x 即可。当然，细究起来，这个2x = k，是不是就是切线的斜率，还是要给出明确证明的。这个王文素没有给出，他只是操作正确，而没有深究几何意义。但这并不影响他微积分第一人的地位，因为显然，牛顿、莱布尼兹公认也是没有正确理解导数的确切意义的。而其后百年的极限法微积分（所谓“第二代微积分”），同样有问题（见笔者分析）。对2x是切线斜率的证明，一个是增量 △x可以取的任意地小甚至等于0，也就是△x = 0或△x → 0。另一个就是非线性部分△x2的前面的符号不能变。如果2x不是切线的斜率，就是割线的斜率，如此，当△x → 0时，△x2前面的符号会改变。对应的几何意义就是该直线有时在曲线之下，有时又在曲线之上。同时，既然△x2前面的符号会改变，就说明在某一个点△x2 = 0而此时△x却不等于0，这当然是不成立的。因此，2x•△x只能是切线，不可能随着△x的变小到一定地步但不等于0时，它成了割线的增量也即曲线的增量，而此时△x2 = 0。这是不可能的。此点读者可自行验证之。而一经证明，王文素法不但可用，而且极其简单好理解。本质上，图1（笔者）与图2（王文素）的两种得到导数的方法，本质上是一样的。笔者、Range的方法，是把曲线的增量看成与其数值相等的割线的增量，也就是把一个二次曲线看成一次的直线，把非线性部分折合到直线方程的系数（斜率）k中。然后令其中的自变量△x → 0最后等于0，此时斜率k变化，意味着割线在以x点为轴旋转，最终停止在切线位置。而王文素法（图2）直接取曲线增量的线性部分，这与传统上微分的定义完全一致。这里其实是把曲线函数的“线性主部”与自变量之比直接看成导数，其先后次序如此。而传统微积分甚至笔者（包括Range）,是先得到导数（图1），至于微分，在重新利用导数来定义。二者当然都可以，只是先后次序不同，况且王文素法还有一个证明系数2x确实就是曲线x点的切线的斜率的问题（见前述）。但一旦给出了这个证明，就可以一劳永逸，直接采用王文素法，这个更为简单、直接，好理解。而笔者的方法，虽然更为完备（等于给出了一个证明），但笔者在与其他一些人的讨论中感到，很多人居然搞不清两种不同的极限。他们一看到△x → 0，就说你这不是还是极限法吗？他们看不到属于割线、切线的△g是不等于0的，是完全可以与曲线相关的变量△x 不是一个变量的。而导数不是增量比△y/△x在△x → 0时的极限，而是△g ≠ 0时的△h/△g的比值。

应该强调，王文素法需要给出证明，只是限于导数的几何意义。比如割线、切线、曲线概念上的。而王文素只是针对高次方程的，是代数的，他显然没有义务（有当然更好）去涉及导数（乙方）的几何概念。他只要得到一次项的系数就可以了。并且直接把这个一次项的系数看成“乙方”，也就是导数即可。就算王文素没有给出导数（乙方）十分清晰的全景图像与定义，但一、二百年之后的牛顿、莱布尼兹甚至柯西等不是也没有正确无误地给出导数的定义吗？因此，以此苛责王文素是无道理的。王文素的导数得到途径，简单的令人拍案叫绝，只要我们在导数的新定义下去理解、证明、诠释就可以了。一旦给出笔者实际完成的证明（以求法来体现的）与诠释，王文素法是最直接了当的，最简单自然的，最不容易与传统微积分极限法混淆的。想笔者在与人的讨论中，比如科学网文清慧博客中的“薛问天”先生，总搞不清笔者的意思，说你的所谓不需要极限的求导，不是还要取极限吗（其实不需要的只是非平凡极限，一般意义的极限当然可以有，很多人搞不清二者的区别）？说我是误导云云。但王文素的方法简单的多，且更好理解。还与整个微分理论合拍，甚至就是微分定义的自然推论。至此，无论笔者的新定义的导数还是王文素的“乙方”，实际都是名正言顺的“微商”，也就是是一个地道的、真正的有分母的“比式”。极限法微积分的那种不得不把dy/dx革出教门或直接看成一个不可分割的整体的谬论，可以休矣。让我们堂堂正正的而不是偷偷摸摸地回到牛顿、莱布尼兹的做法中去（当然诠释不同），而彻底抛弃极限法（正确说是非平凡极限法或非合理极限法）的种种误人子弟、矛盾百出、强词夺理意味甚浓的、马克思所说的“昏话”吧！

考虑笔者对导数或瞬时速度的新定义和王文素的具体做法，历史上的贝克莱悖论可以有一个双重消除的问题。第一，在笔者“新定义”下，求导根本就不必拘泥于增量比值函数（分母上是自变量且其趋于0的的非平凡比值函数），直接针对增量函数就可以求出或得到导数（当然，针对增量比值函数也是可以的。见笔者前期文章）。于是，没有了分母，具体说就是没有了是自变量的分母，当然也就不会再有分母为0不为0的问题，贝克莱悖论自消。第二，按王文素的做法，它同样也没有针对增量比值函数，只是针对的增量函数得到的导数（乙方），但同时，值得注意的是（前文其实已经讨论过了），王文素针对的不是作为线性方程形式的

△y = （2x + △x）•△x = k（x， △x）• △x，而是曲线增量形式的

△y = 2x•△x + △x2，二者当然本质是一致的，只是一个括号里的各项乘不乘出来的问题。不乘出来，就是作为线性（直线）方程的系数k，而乘出来，就可以看成曲线方程的增量的一次项的线性部分与高次项的非线性部分的叠加，具体说就是 2x•△x + △x2，左边的一项是一次项，为线性部分无疑。右边是二次项的非线性部分（见图2）。注意，这里王文素并没有强行令△x进而△x2等于0或是趋于0，而是“只取”该叠加式2x•△x + △x2的一次的线性项2x•△x中的系数也就是斜率的2x，如此而已！尽管从几何意义上讲，我们需要一个深层次的证明，证明这个2x就是切线的斜率，而不是另一个割线的斜率。但这当然只是就其几何图像的意义而言的。人家王文素并没有考虑几何上的东西，而只是考虑实际上同构的高次方程的代数问题，人家考虑的就是△x（在附录中公式3中就是“k”）可以是任何数值时的问题，换言之，可以无限小下去都成立的问题，对应于几何上，就是切线及其斜率的问题。只不过王文素没有明说、点透罢了。实际上，对王文素而言，这里的一次项（线性部分）始终（指无论△x 或附录公式3中的“k”有多大或多小）是一次的、线性的，而不是这个线性（一次）部分内部又有一个非线性（高次）部分。几何上，就是这个直线的一部分还是一个割线。既然排除了这种情况，几何上，当然就只能是一个切线了。

事实上，就算对△y = （2x + △x）•△x = k（x， △x）• △x这个线性形态的式子，我们其实当然仍旧可以把2x + △x = k中的2x看成线性项，而其中的自变量△x看成非线性项，因为还要考虑括号外乘上的那个因子△x。如此，就是针对此式（其实与△y = 2x•△x + △x2当然是完全等价的），也完全可以取王文素的做法，径直只取其中的作为线性方程的切线方程的系数2x，而根本就不用去管无论括号外语括号内的△x等不等于0或是等于什么：等于0，就是图1的情况；不等于0，就是图2（也就是王文素做法）的情况。在这个观点或认识下，我们就可以十分清晰地看出，西方（有别于王文素）传统微积分 （无论是牛顿、莱布尼兹还是柯西、外尔斯特拉斯等）在诠释上可以说是“双重之误”（对比前面的所谓贝克莱悖论的“双重消除”）。第一，没有直接采用完全可行的增量函数△y，而是非要不必要地采用分母为自变量的非平凡增量比值函数△y/△x；第二，没有如王文素或图2那样直接取线性部分的斜率（系数），而是非要令自变量 △x等于0（牛顿、莱布尼兹等）或趋于0（柯西、外尔斯特拉斯等）。第三，实际求导过程中很随意地使用了约分消分母上的自变量这一步，但又没有充分理解其意义。正是这三点一叠加，必然要产生贝克莱悖论。当然，他们之所以非要如此做，是与其对导数、瞬时速度等概念的理解或诠释（也就是定义）直接相关的。在他们及其后普遍的认识有误的导数（瞬时速度）定义或概念下，才会有这样的问题，也就是贝克莱问题。

前面已经说了，王文素对导数（乙方）的几何（包括物理）意义没有涉及，当然就不会对导数就是曲线的切线斜率给出证明。但这并不能抹杀王文素给出了导数（乙方）这一事实。首先，导数的图像，并不限于几何图像，其物理、代数图像同样甚至更加重要。就是牛顿，其实也只关心导数的物理图像也就是瞬时速度问题，对其几何概念究竟知道或关心、涉及了多少，我手头并没有相关资料。很可能他也像王文素一样，对此没有涉及（后来看到莱布尼兹的几何意义的导数才有所认识则是另一回事）。而莱布尼兹，是直接基于导数的几何意义来展开其微积分工作的，他本人一开始对导数的物理意义究竟有没有认识或认识的程度，同样我不清楚。很可能，他们二人各自也只是抱住了导数这个大象的不同的腿。如此，我们怎么独独苛责于王文素呢？更何况王文素虽然没有明确地指出来，但他的增量（附录公式3中的“k”）显然是可以等于任意值的，这当然包括可以无限地小下去，而这无形中就是一个陈述或证明了，起码是一个“潜在的”、“不言自明的”、“无需证明的”证明。因为王文素的“潜台词”实际是增量可以是任意值。这与图2中的切线等效。而图2的几何图像之所以应该有个严格的证明，不过是在图2中，我们用静态的图形去表达自变量△x的可以是任何值，也就是可以△x → 0或等于0这一点。由此，才需要单独地给出△x → 0，也就是实际算证明了△x → 0结论也成立。如果对图2给以限制条件“自变量△x可以等于任意值”（一如王文素的“潜台词”。而不仅仅说“有一个△x ”，而说“对任意的△x”），那就实际等于存在了△x → 0，于是其实也就无需单独在证明△x → 0图2情况也成立这回事了。只需指出或“证明“对任意的△x”与“△x → 0”等价”就可以了。总之，只有在几何意义上，才有切线这种“派生”出的概念需要给以一定的证明，而作为代数意义而言，非特定自变量的“一次项”就足矣了。因此，王文素未涉及几何以及其中的斜率、切线、割线、曲线等概念，并不等于他有什么错，充其量也不过是王文素没有对导数“窥其全豹”而已。但前面已经说了，牛顿、莱布尼兹、柯西等也一样，甚至更甚。因为他们的诠释干脆就是错的。

简而言之，要而言之，传统微积分（包括牛、莱、柯、外等等）认为只能对分母上是自变量的增量比值函数同时令自变量趋于0来求导。笔者（也许还包括美国的Range）根据导数的新定义指出不必，可以直接针对没有什么分母（自然也就没有分母上的自变量了）的增量函数来求导。其中割、切线的自变量的增量可以不为0，但曲线的增量△x → 0或等于0。对几何意义的图1，这点是必须的一个证明或求导步骤（二者如何看都可以。“证明”只要一次即可，而“求导步骤”每次来一遍，啰嗦，重复，但亦无不可）。而500年前的王文素，针对高次方程幂函数，既不要求有分母，也不要求自变量趋于0或等于0，而是直接可以“取”函数增量的“线性部分的系数”（也就是一次项的系数）即可。如图2所示。他实际上等于宣示，一个“量”不是只有等于0才可以不要或无视。实际上不等于0我们也可以不要它、不去“取”它或不考虑它。它在那里，既没有为0，也没有消失，也不是所谓无足轻重地小，而仅仅是我们现在考虑、讨论的并不是它，或还没有轮到它。如此而已。王文素做法的这个实质，是他的缺点（对导数图像的全貌的缺失，即没有考虑几何图像），也是他的优点（代数基础的高次方程中不需要考虑切线及其唯一性等问题），对导数（乙方）而言，代数方程下只考虑一次项就够了。

总之，不一定非要是0才可以不考虑，不是0也可以不考虑。王文素无意中告诉了我们这个。为0当然可以不去考虑了，但这并不意味着不是0就一定要考虑。具体到微积分求导，不是非要△x → 0或等于0才可以不考虑它，而是△x不等于或不趋于0也可以不考虑它。因为我们此时讨论的问题不需要它。就这么简单。

在强调一遍：王文素法当然对导数的全貌而言，不太全貌，它没有涉及几何概念、物理的瞬时速度概念等具体方面。但是，它在概念上完全无错，完全正确。它作为一种数学的抽象概念，完全可以涵盖上面两种具体概念。而其140年后的西方传统微积分（包括牛、莱所谓的“第一代”，更包括柯西等的“第二代”）涉及的概念更多，应用更多，但在基本概念上、定义层次上，反而出现问题（贝克莱悖论），实质上是错的、有矛盾（贝克莱悖论）的。况且说其涉及的领域全面，也是很多人共同完成的，单就个人而言，比如牛顿，比如莱布尼兹，也不见得比王文素全面多少（待考）。那么既然如此，凭什么微积分发明人的桂冠可以扣牛、莱二人的外国脑袋上，就不能给早他们140年的王文素戴上呢？

还有一个问题，就是积分问题。有人也许会说，王文素没有涉及积分问题，所以不是一个完整的的微积分。但是，作为定积分而言，原函数的增量△y = f（x + △x） - f（x），其实就等于这个增量的线性部分与非线性部分的叠加。比如对二次函数而言，其原函数的增量△y = f（x + △x） - f（x）= （x + △x）2 - x2，其实不就等于把这个式子展开后的2x•△x + △x2 吗？所以是一回事。而后者就是原函数的增量的线性部分2x•△x与其非线性部分△x2 的叠加。而自变量△x，就是普通的宏观量，无须什么无穷小或趋于0之类的概念，这与笔者的微分定义或实际上教科书中的微分定义是完全一致的。只不过教科书中的极限法微积分中，定义是一回事（不敢定义成什么无穷小或趋0极限了。无穷小，为极限法所抛弃或反对；趋0极限，此时只能等于0！对0积分成什么？哪怕是无穷多个0相加，不也还是0？），实际所做的，最终还是要令这个先不为0的自变量去趋于0（对应于小区间数的趋于无穷多）。极限法微积分它还不敢说趋于无穷小ε。为什么？极限法微积分是干什么的？不就是去排除牛顿特别是莱布尼兹等的第一代微积分中会产生贝克莱悖论的无穷小的吗？这里居然又出现了无穷小，还像话吗？一边吃着人家的包子一边说不好吃？因此，王文素之所以没有提积分问题（也许），但这不是他不会，而是根本就无必要。积分在笔者导数新定义下，也就是王文素的思路、做法下，很简单：在笔者导数的第一定义下（见前期文章，此不赘述），积分，就是宏观意义的微分加上其非线性部分；而微分，就是宏观意义的增量减去其非线性部分（只剩其线性部分）。而在笔者的导数第二定义下（见前期文章），积分，就是大些的微分；而微分，就是小些的积分。二者根本就没有什么本质区别。既然积分是大些的微分，那么，一些微分的叠加自然就是其积分。这就恢复了积分的可加性，直观而通俗。完全没有什么趋0的小区间，趋于无穷多的小区间数之类的繁琐而错误的概念再来迷惑广大学子了！王文素也许没有详细涉及这个问题，但如果沿着他的思路，只能是这个结果。它是如此地简单明确，实际根本就不值得单独表述。因为正向运算既然提出来了，反向运算不是顺理成章的事吗？还用多啰嗦吗？就像我们既然知道某量a是b与c之和了，自然也就有a了。而知道了a，又知道了有函数关系c + b = a，我们自然也就知道或恢复了a。这里面没有任何稀奇的。

而与此有关的“新微积分基本定理”，实际可以变得十分简单：既然导数2x为由原函数的增量△y = f（x + △x） - f（x）= （x + △x）2 - x2 = 2x•△x + △x2 舍弃△x2 得之，那么如果已知导函数2x，其线性部分就是2x•△x，只要加上原本舍弃的非线性部分△x2 ，就可以得到其原函数的增量f（x + △x） - f（x）= （x + △x）2 - x2 = 2x•△x + △x2 了。这不就是微积分基本定理所描述的事实吗？而这个诠释，比传统微积分基本定理的诠释要简单、直观的多。它完全没有了传统微积分在积分时的内在矛盾之处（指小区间趋于0到底是不是0的问题）。

同时，传统微积分是先求导，再定义微分（线性主部），而王文素的做法如果用几何范畴来表述的话，等于是先有了线性主部（微分），再定义其所属直线（切线）的斜率为导数。因此更为直接、协调、自然。事实上，很多教科书中，最终还是定义了微分dy = f’(x)•dx后，再把dx除到等式左边，得到dy/dx = f’(x)的。这里的dy/dx，按极限法的诠释，并不是真正意义的导数，只是其“数值”等于导数。因为导数在极限法下并不是一个比式，而这里的dy/dx的得到途径（是等式右边除过来的），它不得不是一个比式。而等式右边的f’(x)当然是一个导数。于是我们看到，这里的宏观意义的比式dy/dx 只是数值上与导数等值而已。这是一个十分别扭的诠释或结论。因为事实上，传统微积分在这里其实是得到了真正意义的导数的，在笔者的诠释与王文素的做法下，其实这个步骤或次序，才应该是真正意义的导数的本原。导数就是一个宏观意义的比式，这才更直接、协调、自然。

而不是如传统微积分那样，扭扭捏捏地对明明是一个比式的导数，却不或不能承认它是比式。

最后，很本质的是，传统微积分无论是在（2x + △x）•△x/△x还是在2x + △x下，都是认为令△x → 0时“求出”了导数。但是实际上，正如笔者分析的，传统微积分无论△x = 0还是△x → 0，都没有无矛盾地解释清贝克莱悖论之所以产生的原因。而且即使是笔者，为了诠释传统微积分究竟为何如马克思所说的“从明显错误的前提出发得到完全正确的导数值”的，有意无意地也采取了这种思路（半是为了诠释传统微积分求导的真实含义，半是囿于传统微积分求导的窠臼），只不过在笔者这里，针对的可以是无分母上为自变量的增量函数，因此△x → 0与△x = 0是一致的。而按王文素得到导数（乙方）的做法的思路，他实际上直接针对的是△y = f（x + △x） - f（x）= （x + △x）2 - x2 = 2x•△x + △x2 ，只需分析、理解已经出现在（不是什么“求出”的！）公式中的2x•△x项以及其中的2x代表什么意思就可以了，根本就不必考虑什么△x → 0与△x = 0的问题和过程。实质上，就是指出公式中2x•△x进而2x代表什么意思就可以了。既然2x已经出现在了公式中了，还“求”什么？我们只需理解、解释其含义就足矣了。这可以说是迄今为止最为简略的“得到”（我这里故意不说“求出”。其意不言自明）导数（王文素的“乙方”）的方法。当然也可以这么说：所谓的“求导”或“求导过程”，实际就是解释早已出现在增量函数△y中的2x（对二次函数这类例子。其它类推）就可以了。这个2x与其说是“求出”的，还不如说是“罗列”出的。需要的只是一个解释，也就是它代表的究竟是个什么意思（答案其实就是线性部分的系数或斜率。也就是在笔者提出的新导数定义下，理解其意是很容易的。）。完全没有必要再令公式中的△x → 0或△x = 0，尽管在正确的诠释下，如此“操作”当然也是可以的，只不过对有些（甚至不少）人而言，它容易与传统微积分求导相混淆罢了。

不禁感慨，500年前的王文素真真是令人无比赞叹地拍案叫绝！他的实际运用的这些观念，其140年后的牛顿、莱布尼兹，200多年后的柯西、外尔斯特拉斯等，以至500多年后的还健在的衮衮诸公，何能望其项背乎？

补遗二

对极限本身及微积分求导过程中的极限常见的理解上的误区

笔者在与其他人讨论的过程中发现，对极限及微积分求导需要的极限的理解上，广泛存在着很大的误区。其中包括一些所谓的“专业人士”。比如

1、极限不是一个值，而是一个过程，实际到不了极限点。

辩误：极限就是一个值，就是极限点的值。求极限就是求的这个值，而不是过程。无论这个过程可不可以到这个极限点。

2、极限只是一个近似值，所有现有极限法微积分的导数定义公式，都应该把等式“=”改为约等号“≈”。

辩误：既然如此，为什么还如此费劲地舍弃所谓“高阶无穷小”去求这个不精确的、“约等于”的值？保留这个无穷小以得到精确值不是更好？公式稍微复杂些，但数学中复杂的公式还少吗？

3、误把极限法微积中的极限（实质是“非平凡极限”），当成了一般意义的极限。似乎反对“极限法微积分”，就是反对一切极限概念似的。

辩误：“极限法微积分”的极限，实际是笔者提出的“非平凡极限”（还是比较委婉的说法）、“非正常极限”或干脆称之为“反常极限”、“错误的极限”（这才是实质说法）。具体说，就是第一，是一个比式。第二，这个比式的分母为自变量。第三，这个比式的处于分母上的自变量要趋于0。这能说是一般意义的极限吗？通常普遍认为，这种极限之所以需要，是因为牛顿等的第一代微积分会在0点产生增量比值函数的函数值为无意义的0/0的问题，也就是贝克莱悖论问题。这是公认的，否则如果没有问题，还需要柯西的极限法的所谓第二代微积分吗？既然函数值在0点为无意义的0/0，那么，按非平凡极限法求导的做法，就认为函数的定义域不包括0点，把0点“革出函数的教门”，宣布其为非法。如此，既然定义域不包括0点了，也就是分母不为0了，于是就可以堂而皇之地通过约分或除法先消去这个处于分母位置的自变量（通常以符号△x 表示之），然后再令这个已经没有了分母的函数（其实已经是另一个完全不同的函数了）去趋于0（实际完全可以等于0。这也间接说明有无分母上的自变量的两个函数是不一样的。一个可以在0点有定义，一个没有定义），并声称如此得到的0点的这个已经没有分母上的自变量△x的增量函数的极限值（其在0点无定义，就是不可达极限；其在0点有定义，就是可达极限。反正极限值都一样），就是原先分母为自变量的增量比值函数在0点的不可达极限值。此论几乎就是整个数学界的通论（见柯朗«数学是什么»）。但是，令函数在0点无定义（定义域不包括0点），并不意味着自然地就在0点可以有不可达极限值！二者不等价。在0点没有函数值，同样也可以在0点没有极限值！所谓求在没有函数值的0点的极限值的前提，是在该点可以、允许或本来就存在有这个极限。难道不是吗？该点如果原本也没有这个极限，求出的必然就不是它的极限。极限法微积分求导之误，就误在简单地认为在0点只是唯一地不存在有意义的增量比值函数△y/△x的函数值，而在该点增量比值函数的极限值是存在的。这是整个极限法微积分求导的一个隐含的、但却是实实在在的假设、前提。既然在0点存在非0/0型的极限不过是一个假设、前提，经常被业内人士号称为最为严格的数学是不是应该给出一个证明？但是，这个证明给的出来吗？本来是在0点有非0/0型的极限（或极限不为0/0），才可以通过约分或除法消去增量比值函数分母上的自变量△x再去求趋0极限的，但现在却是先通过约分或除法消去了增量比值函数△y/△x分母上的那个自变量△x，就认为是或证明了如此求得的趋0极限，就是原先没有消去分母的增量比值函数在0点的趋0极限值，这是不是因果倒置的逻辑问题？谁敢说不是，请指出我这里推理的逻辑问题再说。

这里可以举一个形象化的比喻：水在100度要沸腾（对应于我们讨论的微积分导数问题的增量比值函数在0点的函数值为0/0）。无论“函数值”（现实中）还是作为“极限值”，它都是沸腾的。但如果有人说，水在不到100度前，没有沸腾，所以不考虑100度这一“点”，即“定义域”不包括该点。于是，在其它所有温度点，水都不会沸腾。于是，有人说水在100度的极限，就是不沸腾（对应于我们讨论的微积分问题的0/0）。这种说辞，成立吗？这不是与微积分求导问题我前面说的“曲线救导”一样的“曲线救沸”啊？这是逻辑上典型的“偷换概念”错误。微积分求导问题的极限法其实也一样。至于具体分析其中的逻辑错误，经过笔者的分析、点出后，不过就是一道初级的逻辑习题而已。读者请自行分析辨识。总之，极限法微积分求导的逻辑问题，起码涉及两个逻辑错误，一个是“偷换概念”，一个是“以因为果”。还隐蔽地有一个“循环论证”。甚至这里需要一个论证，都没有被意识到。而一旦意识到，则必然涉及循环论证。

4、传统微积分求导过程（无论牛顿、莱布尼兹的“第一代”还是柯西、外尔斯特拉斯的“第二代”）中，都必须先通过约分消去分母上的自变量△x才可以进行下去。但对约分的实质意义究竟是什么，居然这么多年没有人注意到。试问，在任何一个公式中，除了数字“1”，什么可以删去不要？没有任何数字可以不要。于是，所谓消去分母上的自变量△x，只有使其等于“1”，也就是比式中的△x/△x = 1/1 = 1才行。于是显然，经过所谓的“约分”，先要有比式中有了“1/1”后才可以再消去它。但是，传统微积分可是对分母是自变量△x的一个“非平凡比式”求其自变量△x → 0时的极限的，这是其定义。而约分后的得到的1/1，等于在△x → 0之前就令△x/△x = 1/1 了，此时分母上的那个自变量△x等于了什么？当然是“1”。趋于了什么？当然也是“1”。如此，还有什么△y/△x的△x → 0这回事吗？运算次序的孰先孰后，不用说专搞数学的专家应该能清楚，就是一般的大、中学生，也应该能明白吧。既然在实际操作过程中增量比式中的△x/△x = 1/1了，而该比式中剩下的其它△x → 0了，那么，这些△x 还是同一个变量吗？当然不是了。这是无论牛顿、莱布尼兹还是柯西、外尔斯特拉斯只要在运算中实施了约分的实际结果。而比式中的曲线的自变量△x不是同一个变量了，这使得整个公式的次数改变了，实际高次方程（曲线）变成了一次方程（直线。见笔者有关论述），比如，△x2/△x是个二次曲线的比值方程，而△x•△g/△g就是一个切线方程。这就是导数的基础了，而贝克莱悖论不再存在，因为在△x → 0时，处于分母上的△g ≠ 0。

笔者一再地说了这么多，无非是强调500年前的王文素根本不涉及极限、无穷小等概念而得到导数值，才是微积分导数的“正朔”，理应得到充分的肯定。而其500年后笔者的系列工作，是拨乱反正，返璞归真，与王文素法是相得益彰的。

有人以王文素得到导数（乙方）时没有涉及极限与无穷小概念而认为王文素没有得到真正的微积分真谛，只是无意中“撞上了”微积分的结论，或只是来到了微积分的大门口而未入其中。似乎是“瞎猫碰到个死耗子”似的。此议大谬不然。实际上，由笔者前面的分析可以知道了，王文素没有提到极限或无穷小不但不是他的缺点，反而是他远胜西方传统微积分大优点。因为事实上他才是对的。他的做法，完全符合笔者提出的“新导数定义”和“增量分析”。微积分本来就不应该涉及无穷小或极限，而只涉及增量。王文素远远走在西方微积分先驱们的前面了！因此，我们必须给王文素一个交代，尽管是迟到500年的一个交代也罢！

附录：王文素真的在《算学宝鉴》中提出了导数的概念并将其用于求解高次方程吗？

网友scarse，2021年6月21日，人文历史

注意，各页之间有重叠。

参考文献

n [1]李红玲.一元微积分理论近期发展内容的比较分析[J].河南 教育学院学报（自然科学版），2021，30（2）：34-40.

[2] 赵擎寰.明王文素珠算巨著«算学宝鉴»天元术高次多项方程与导数

[3] 笔者微积分相关系列论文，国家科技图书文献中心预印本，沈卫国微积

分相关文章；知乎网，何许（笔者化名）微积分相关文章

[4] 马克思，数学手稿

[5] 柯朗，数学是什么

[6] 吴文俊（顾今用），中国古代数学对世界文化的伟大贡献，数学学报，

1975年3月，第18卷，第1期

[7] 华罗庚，王元，有限与无穷，离散与连续——为纪念中国科学技术大学建校五周年而作

发布于 2022-05-08 17:55