很水的数学分析108：一般的度量空间

收敛性的灵魂的度量。

1.公理化的含义和通常路径。特例→抽象性质→公理化

2.度量定义

①先看主语，主语之一是映射，主语之二是一般的非空集合。

②注意非负性中等号是否能取到。

③同一个集合X上可以定义不止一个度量。

④∅≠Y⊆X，则把d限制在Y×Y上以后是Y上的一个度量。

⑤泛函的概念。

3.抽象度量空间的例子：

离散度量，(R⁺,d)(其中d=｜lny/x｜)

4.两个重要度量：

C[0,1]中，d₁(f,g)=max｜f(x)-g(x)｜

d₂(f,g)=∫₀¹｜f(x)-g(x)｜dx

d₁对应一致收敛

（这一条和111节相对应）

5.有界集定义及削弱版定义

6.集合的直径

7.结合5，6推知命题2.15：在度量空间中，集合E有界当且仅当diamE∈IR

8.一般的度量空间没有线性、乘法、序关系