重庆市第八中学2023届高考适应性月考卷(六)数学试卷及答案汇总

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以下均为复习备考资料及相关练习题，以供使用

一、内容及其解析

1.内容

平面向量的数量积用2课时．

第1课时：平面向量数量积的物理背景及其含义；

第2课时：平面向量数量积的运算律．

向量的数量积是继向量的加法、减法、向量的数乘等线性运算之后又一新的运算，内容包括向量数量积的定义、投影向量、向量数量积的性质、运算律及其应用，既是前面知识的延续，又是后续学习的基础，具有承上启下的作用.研究向量数量积的基本思路和向量线性运算的研究路径具有相似之处，但是向量数量积的运算又具有独特性质.在学习中可以类比向量线性运算的研究思路，从物理背景出发定义向量数量积，从代数和几何两个角度认识向量的数量积.同时，要注意提醒学生将向量线性运算和向量数量积进行对比，准确认识向量数量积的概念和性质.

2. 内容解析

单元知识结构图

内容的本质：本单元是在学生已经学习了平面向量线性运算的基础上，以物理中功的概念，引入向量

“数量积”的概念．向量的数量积运算结果是实数，它不仅满足交换律，而且对加法满足分配律．向量数量积可以刻画两个向量的夹角和向量的长度（可以看成两点间的距离），而距离和角又是刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量．因此，向量数量积在解决平面几何问题中发挥着独到的作用．向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量．

本单元在研究平面向量的数量积时，借助物理中的有关模型或借助与数的运算的类比，如借助物理中功的概念引出数量积的概念；借助与数的运算的类比，发现数量积的运算律．本单元的内容蕴含了数形结合、类比、归纳、抽象等数学思想方法.

知识的上下位关系：

 育人价值：培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养． 

二、学情分析

平面向量数量积是学生在完整学习了向量线性运算的基础上进行的，学生对于向量运算已经有了丰富的研究经验，对其中蕴含的数学思想和方法也有了较为全面的认识，所以教学中要引导学生类比已学知识，明确研究路径，启发学生进行自主探究.学生具有力、功等物理知识的基础，在借助物理背景定义向量数量积的过程中，要充分利用物理模型进行知识迁移，从力的分解角度认识分力做功，为后续学习投影向量做铺垫，认识投影向量和数量积的关系.从力做功的公式出发，从向量运算的视角描述，容易想到需要先定义两个向量的夹角.在明确向量夹角的概念后，再定义向量的数量积就水到渠成了.得到向量数量积的计算公式是容易的，但是要进一步引导学生全面认识向量的数量积.由于学生具有认知惯性，教学中需要提醒学生注意区别向量的线性运算，向量数量积的运算结果是实数而不是向量.虽然向量的数量积是实数，但是两个向量的大小和方向仍然影响着运算结果，通过向量数量积的定义认识到运算结果的大小与向量模长、夹角的关系，也为投影向量的研究打下基础.

在研究投影向量时，需要在分类讨论的基础上进行抽象，对学生几何直观和归纳概括的能力要求较高，具有一定的难度.在教学时要通过“如何确定投影向量的大小和方向”“影响投影向量大小和方向的因素有哪些”等问题引导学生，初步感知投影向量与数量积之间的关系，为第二课时研究向量数量积的运算律打下基础.

研究向量数量积的性质也是一个重难点，由于数量积的运算结果是实数，向量“形”的特点好像消失了.在教学中需要强调向量具有代数和几何的特性，一方面是基于投影向量的概念认识数量积的几何意义，一方面是从代数和几何两个层面研究数量积的性质，体现了从一般到特殊、数形结合的数学思想.

在研究向量数量积的运算律中，对分配律的研究是一个难点，需要借助投影向量的概念进行研究。由于学生在第一课时刚获得这个概念，可能尚未完成对概念的自主建构，因此可能不能熟练运用这个新概念与运算律的探究过程之中。另外学生可能天然的认为实数乘法运算的相关运算定律都能类比到向量的数量积，但事实上并非如此。这种类比带来的错误的迁移也是本课学生学习的一个难点。

三、目标及其解析

1.课时目标

（1）通过类比实数乘法的运算定律，研究向量数乘的运算定律，体会类比作为一种合情推理，其结论不一定正确的特点，发展高阶思维和理性竞赛，提升逻辑推理素养.

（2）通过对数量积运算的运算律的论证，加深对向量数量积几何意义的理解，体会数形结合的思想，提升直观想象素养.

（3）通过应用数量积解决一些几何问题，初步感受代数方法解决几何问题的基本思想，体会向量的工具性作用，提升数学抽象素养.

2.目标解析

达成上述目标的标志是：

（1） 能类比实数乘法的运算定律，猜想数量积运算可能满足的定律，能对其中成立的定律进行论证，能对其中不成立的定律举出反例.

（2） 能够自己构建几何图形，并借助向量数量积的几何意义完成对分配律的证明；

（3） 能够应用向量的数量积运算定义及相关性质和运算率，解决一些简单的求两点间距离、夹角、垂直等相关问题.

四、教学问题诊断分析

教学问题一：在研究向量数量积的运算律中，对分配律的研究是一个难点，需要借助投影向量的概念进行研究。向量投影的本质是高维空间向低维空间的线性变换，从而得到和向量共线的投影向量.基于投影向量理解向量数量积的几何意义，认识投影向量与数量积的关系，对于后续研究向量数量积的性质、运算律打下基础.学生在第一课时刚获得这个概念，可能尚未完成对概念的自主建构，因此不能熟练运用这个新概念与运算律的探究过程之中。在本课的起始阶段，应该重点就投影向量的概念、数量积的几何意义进行系统的复习；

教学问题二：学生可能天然的认为实数乘法运算的相关运算定律都能类比到向量的数量积，但事实上并非如此。数量积交换律和分配律依然成立，但是结合律和消去律不在成立。结合律不成立的原因在于任何两个向量的数量积都是实数，此时无法在与第三个向量进行数量积运算了；而任意两个向量，如果在第三个向量上的投影向量相等，那么这两个向量分别与第三个向量的数量积便相等，这使得消去律不再成立.教学中教师应该设计好教学活动和学习任务，使得学生能够数形结合，图文并茂的把这些可能产生认知障碍的地方生探究清楚；

教学问题三：本课还需要借助数量积运算的运算律推导一些数量积运算的公式，比如完全平方和公式、平方差公式等.并且借助这些公式解决两点间距离问题，垂直的转化，两向量夹角余弦的计算等.这些刚习得新知部分学生可能尚未来得及内化，因此在应用过程中也可能产生一些障碍。教师在教学中，应该合理的搭建好脚手架，设计分层次的学习任务供给学生探究，逐步完成对相关知识的自主建构，并能运用相关知识解决平面几何中的一些简单的位置关系和数量关系的判断、证明、计算求解等.

五、教学重点与难点

教学重点：向量数量积运算的分配律、向量数量积的应用.

教学难点：向量数量积的分配律的证明.向量数量积消去律不成立的反列构建.