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第三章 微分中值定理与导数的应用

第一节 微分中值定理

一、罗尔定理

定理——

1. 费马引理：设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x∈U(x0)有f(x)<=f(x0)(f(x)>=f(x0))，那么f'(x0)=0。

2. 罗尔定理：如果函数f(x)满足

1. 在闭区间[a,b]上连续

2. 在开区间(a,b)内可导

3. 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)

   ——那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得f'(ξ)=0。

二、拉格朗日中值定理

定理——

1. 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足

1. 在闭区间[a,b]上连续

2. 在开区间(a,b)内可导

   ——那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)成立。

2. 辅助函数：φ(x)=f(x)-f(a)-[f(b)-f(a)](x-a)/(b-a)。

3. 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。

三、柯西中值定理

定理——

1. 柯西中值定理：如果函数f(x)及F(x)满足

1. 在闭区间[a,b]上连续

2. 在开区间(a,b)内可导

3. 对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0

   ——那么在(a,b)内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。

2. 辅助函数：φ(x)=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]}[F(x)-F(a)]。