算术-几何均值不等式怎么证明

求证：   （当且仅当时取等号）

证明：方法一（平方的非负性）:

易知

 （当且仅当时取等号）

展开整理得

（当且仅当时取等号）

方法二（合二为一）:

令

则原不等式可化为

由对勾函数的性质可知上式成立

因而命题得证。