圆幂定理是平面几何中十分常见的一个定理，中高考中也有许多可以应用它的题型，因此热度一直较高

所谓圆幂，有如下定义

点P到圆O（半径为R）的圆幂是指PO²-R²

而平面几何中的圆幂定理实际也可以看成割线定理，切割线定理，相交弦定理的统称

内容如下

网上资料大多以几何法证明，具体过程如下

容易看出，三个定理中的不变量即为点到圆的圆幂，故定理得名圆幂定理

然而几何法用相似证明，难免有些繁琐，且还需要分情况讨论

今天给大家介绍一种相对更简单和一般的证明方法

首先要借助一种新的工具——点几何

所谓点几何，就是以点为研究对象，直接对点进行运算的一种几何

如果无法接受点几何的表达，你可以直接把它看成原点到它的向量（例如A直接看成向量OA）

我们采用的是恒等式证明法

简单来说就是先得到代数恒等式S₁+S₂+S₃+…Sₙ=0，接着由题目条件得到S₁=S₂=S₃…=Sₙ₋₁=0最后得到Sₙ（结论）等于0

先看一下割线定理，实际上存在如下恒等式

证明十分简单，你只需要把所有括号打开即可

由圆的性质，显然S₂S₃S₄均为0，故S₁为0，割线定理得证

而在恒等式中我们并没有规定P的位置，故P在圆内仍然成立，相交弦定理得证

令C等于D，切割线定理得证

而这个恒等式是还可以拓展到三维情况，球幂定理得证，由这个恒等式我们还可以去知道。不管在几维都应该存在类似的n维球幂定理

这就是点几何所追求的一行证明了，一般恒等式中具有很强的一般性，所以我们往往可以做到一行等式同时证明多个命题，甚至有所拓展

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