多元函数微分学笔记(1)

2023-05-31 23:46 作者:~Sakuno酱 0人读过 | 我要投稿

首先我们讨论的是欧式空间

向量 $%5Cmathrm%7Bx%7D%20%3D%20(x_1%2Cx_2%2C...x_n)$ 和向量 $%5Cmathrm%7By%7D%3D(y_1%2Cy_2%2C...y_n)$ 之间距离 $d(%5Cmathrm%7Bx%7D%2C%5Cmathrm%7By%7D)%20%3D%20%7C%5Cmathrm%7Bx-y%7D%7C$ 为 $%5Csqrt%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D(x_i-y_i)%5E2%7D$

$f%20%3A%20%5Cmathrm%7BR%7D%5En%20%5Crightarrow%20%5Cmathrm%7BR%7D%5Em$ 是一个映射

多元函数极限的定义

$%5Clim_%7B%5Cmathrm%7Bx%7D%20%5Cto%20%5Cmathrm%7Bx_0%7D%7Df(%5Cmathrm%7Bx%7D)%3D%5Cmathrm%7By%7D$ 等价于

$%5Cforall%20%5Cepsilon%20%3E0%2C%20%5Cexists%20%5Cdelta%20%3E0%2C%20$ $%20%5Cforall%200%3C%7C%5Cmathrm%7Bx%7D-%5Cmathrm%7Bx_0%7D%7C%3C%20%5Cdelta$ 有 $%7Cf(%5Cmathrm%7Bx%7D)-%5Cmathrm%7By%7D%7C%20%3C%20%5Cepsilon$

多元函数可导的定义

其实就是考研经常考的可微，只不过考研一般考的是 $%5Cmathrm%7BR%7D%5E2%20%5Crightarrow%20%5Cmathrm%7BR%7D$

存在一个 $%5Cmathrm%7BR%7D%5En$ 到 $%5Cmathrm%7BR%7D%5Em$ 线性变换 $L$ , 对于所有 $0%20%3C%20%7C%5Cmathrm%7Bx%7D%20-%5Cmathrm%7Bx_0%7D%7C%20%3C%20%5Cdelta$ , 有 $%5Cfrac%7Bd(f(%5Cmathrm%7Bx%7D)%2C%20f(%5Cmathrm%7Bx_0%7D)%20%2B%20L(%5Cmathrm%7Bx-x_0%7D))%7D%7B%7C%5Cmathrm%7Bx%7D%20-%20%5Cmathrm%7Bx_0%7D%7C%7D%20%3C%20%5Cepsilon$

记作

$%5Clim_%7B%5Cmathrm%7Bx%7D%20%5Cto%20%5Cmathrm%7Bx_0%7D%7D%5Cfrac%7B%7Cf(%5Cmathrm%7Bx%7D)-(f(%5Cmathrm%7Bx_0%7D)%2B%20L(%5Cmathrm%7Bx-x_0%7D))%7C%7D%7B%7C%5Cmathrm%7Bx-x_0%7D%7C%7D%20%3D%200$

证明 $L$ 唯一:

根据定义可以获得 $%5Cdelta$ 对于 $0%20%3C%20%7C%5Cmathrm%7Bx%7D%20-%5Cmathrm%7Bx_0%7D%7C%20%3C%20%5Cdelta$ 有

$%5Cfrac%7B%7C(L_2-L_1)(%5Cmathrm%7Bx-x_0%7D)%7C%7D%7B%7C%5Cmathrm%7Bx-x_0%7D%7C%7D%20%5Cle%20%5Cfrac%7B%7C(L_2-L_1)(%5Cmathrm%7Bx-x_0%7D)%20%2B%20f(%5Cmathrm%7Bx%7D)%20-%20f(%5Cmathrm%7Bx_0%7D)%20-%20(f(%5Cmathrm%7Bx%7D)%20-%20f(%5Cmathrm%7Bx_0%7D))%20%7C%20%7D%7B%7C%5Cmathrm%7Bx-x_0%7D%7C%7D%20$

$%5Cle%20%5Cfrac%7B%7Cf(%5Cmathrm%7Bx%7D)%20-%20f(%5Cmathrm%7Bx_0%7D)%20-%20L_1(%5Cmathrm%7Bx-x_0%7D)%7C%20%7D%7B%7C%5Cmathrm%7Bx-x_0%7D%7C%7D%20%20%2B%20%5Cfrac%7B%7Cf(%5Cmathrm%7Bx%7D)%20-%20f(%5Cmathrm%7Bx_0%7D)%20-%20L_2(%5Cmathrm%7Bx-x_0%7D)%7C%20%7D%7B%7C%5Cmathrm%7Bx-x_0%7D%7C%7D%20$

$%5Cle%202%5Cepsilon$

我们得到了 $%5Clim_%7B%5Cmathrm%7Bx'%7D%20%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%7CL'(%5Cmathrm%7Bx'%7D)%7C%7D%7B%7C%5Cmathrm%7Bx'%7D%7C%7D%20%3D%200%20$ 其中 $L'%3DL_2-L_1$ , $%5Cmathrm%7Bx'%7D%20%3D%20%5Cmathrm%7Bx-x_0%7D$

假设 $L'$ 对应的矩阵 $M_%7Bm%20%5Ctimes%20n%7D$ 包含了一个不全为0的列向量,不失一般性, 我们就假设这个列向量 $%5Calpha$ 是第一列，记 $e_1$ 是单位向量，于是有 $L(e_1)%20%3D%20%5Calpha$

$%5Cfrac%7B%7CL(te_1)%7C%7D%7B%7Cte_1%7C%7D%3D%5Cfrac%7B%7CtL(e_1)%7C%7D%7B%7Ct%7C%7D%3D%5Cfrac%7B%7Ct%7C%7C%5Calpha%7C%7D%7B%7Ct%7C%7D%3D%7C%5Calpha%7C$

即

$%5Clim_%7Bt%20%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%7CL(te_1)%7C%7D%7B%7Cte_1%7C%7D%3D%7C%5Calpha%7C%20%3E%200$ 这显然和 $%5Clim_%7B%5Cmathrm%7Bx'%7D%20%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%7CL'(%5Cmathrm%7Bx'%7D)%7C%7D%7B%7C%5Cmathrm%7Bx'%7D%7C%7D%20%3D%200%20$ 矛盾了所以

$L'%3DL_2-L_1$ 一定是0矩阵所以 $L_2%3DL_1$

方向导数定义

$%5Cforall%20%5Cepsilon%20%3E0%2C%20%5Cexists%20%5Cdelta%20%3E0%2C%20$ $%5Cforall%200%3Ct%3C%5Cdelta$ 都有

$%7C%5Cfrac%7Bf(%5Cmathrm%7Bx_0%7D%2Bt%20%5Cmathrm%7Bu%7D)-f(%5Cmathrm%7Bx_0%7D)%7D%7Bt%7D-%20%5Cmathrm%7By%7D%7C%20%3C%20%5Cepsilon$

注意这里 $t%3E0$ 和一元函数里的导数的定义不一样

记作 $D_%7B%5Cmathrm%7Bu%7D%7Df(%5Cmathrm%7Bx_0%7D)%20%3D%20%5Cmathrm%7By%7D$

可微则必有方向导数

证明:

在可微的定义里面我们把 $%5Cmathrm%7Bx%7D$ 换成 $%5Cmathrm%7Bx_0%7D%20%2B%20t%5Cmathrm%7Bu%7D$ 得到

$%5Cfrac%7B%7Cf(%5Cmathrm%7B%5Cmathrm%7Bx_0%7D%7D%2Bt%5Cmathrm%7Bu%7D)-%20f(%5Cmathrm%7Bx_0%7D)%20-L(t%5Cmathrm%7Bu%7D)%7C%7D%7B%7Ct%5Cmathrm%7Bu%7D%7C%7D%3C%20%5Cepsilon$

即

$%7C%5Cfrac%7Bf(%5Cmathrm%7Bx_0%7D%2Bt%5Cmathrm%7Bu%7D)-f(%5Cmathrm%7Bx_0%7D)%7D%7Bt%7D-L(%5Cmathrm%7Bu%7D)%7C%20%3C%20%5Cepsilon%20%7C%5Cmathrm%7Bu%7D%7C$

因为 $%7C%5Cmathrm%7Bu%7D%7C$ 是有界的所以 $%5Cepsilon%20%7C%5Cmathrm%7Bu%7D%7C$ 也是无穷小

所以有

$%7C%5Cfrac%7Bf(%5Cmathrm%7Bx_0%7D%2Bt%20%5Cmathrm%7Bu%7D)-f(%5Cmathrm%7Bx_0%7D)%7D%7Bt%7D-%20%5Cmathrm%7By%7D%7C%20%3C%20%5Cepsilon$ 其中 $%5Cmathrm%7By%7D%20%3D%20L(%5Cmathrm%7Bu%7D)%20$

也可以记作

$D_%7B%5Cmathrm%7Bu%7D%7Df(%5Cmathrm%7Bx_0%7D)%20%3D%20f'(%5Cmathrm%7Bx_0%7D)%20%5Cmathrm%7Bu%7D$

偏导数

偏导数和方向导数有点相似区别在于偏导数没有指定是正方向还是负方向，也就是 $t%20%5Cto%200%5E%2B$ 和 $t%20%5Cto%200%5E-$ 的时候极限要想等

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20x_i%7D(%5Cmathrm%7Bx%7D)%20%3D%20%5Clim_%7Bt%20%5Cto%200%2C%20t%20%5Cne%200%7D%5Cfrac%7Bf(%5Cmathrm%7Bx%7D%2Bt%20%5Cmathrm%7Be_i%7D)-f(%5Cmathrm%7Bx%7D)%7D%7Bt%7D$

下面开始证明一个重要的结论，对于一个 $f%3A%20%5Cmathrm%7BR%7D%5En%20%5Crightarrow%20%5Cmathrm%7BR%7D%5Em$ 如果它的偏导数在 $%5Cmathrm%7Bx_0%7D$ 处连续那么

$f$ 在 $%5Cmathrm%7Bx_0%7D$ 处可微

先考虑 $%5Cmathrm%7BR%7D%5En%20%5Crightarrow%20%5Cmathrm%7BR%7D$ 的场景记 $k_i%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20x_i%7D%20(%5Cmathrm%7Bx%7D)$

因为 $%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f(%5Cmathrm%7Bx%7D)%7D%7B%5Cpartial%20x_i%7D%20$ 是连续的所以我们可以找到一个很小的 $%5Cdelta$ 当 $0%3C%7C%5CDelta%20x_j%7C%20%3C%20%5Cdelta$ 时

$%5Clvert%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20x_i%7D%20(%5Cmathrm%7Bx%7D%20%2B%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%5CDelta%20x_j%20%5Cmathrm%7Be_j%7D)%20-%20k_i%20%5Crvert%20%3C%20%5Cepsilon$

于是应用拉格朗日中值定理

$f(%5Cmathrm%7Bx%7D%2B%5CDelta%20x_1%20%5Cmathrm%7Be_1%7D)%20-f(%5Cmathrm%7Bx%7D)%20%3D%20%5CDelta%20x_1%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20x_1%7D(%5Cmathrm%7Bx%7D%20%2B%20%5Ctheta_1%20%5CDelta%20x_1%20%5Cmathrm%7Be_1%7D%20)$

因为 $0%20%3C%20%7C%5Ctheta%20%5CDelta%20x_1%7C%20%3C%20%5Clvert%20%5CDelta%20x_1%20%5Crvert%20%3C%20%5Cdelta$ 所以

$%5Clvert%20f(%5Cmathrm%7Bx%7D%2B%5CDelta%20x_1%20%5Cmathrm%7Be_1%7D)%20-f(%5Cmathrm%7Bx%7D)%20-%5CDelta%20x_1k_1%20%5Crvert%20%3D%20%5Clvert%20%5CDelta%20x_1%20%5Crvert%20%5Clvert%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20x_1%7D(%5Cmathrm%7Bx%7D%20%2B%20%5Ctheta_1%20%5CDelta%20x_1%20%5Cmathrm%7Be_1%7D%20)%20-k_1%5Crvert%20%5Cle%20%20%5Clvert%20%5CDelta%20x_1%20%5Crvert%20%5Cepsilon%20$

同理

$f(%5Cmathrm%7Bx%7D%2B%5CDelta%20x_1%20%5Cmathrm%7Be_1%7D%20%2B%20%5CDelta%20x_2%20%5Cmathrm%7Be_2%7D)%20-f(%5Cmathrm%7Bx%2B%5CDelta%20x_1%20%5Cmathrm%7Be_1%7D%7D)%20%20%3D%20%5CDelta%20x_2%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20x_2%7D(%5Cmathrm%7Bx%7D%2B%5CDelta%20x_1%20%5Cmathrm%7Be_1%7D%20%2B%20%5Ctheta_2%20%5CDelta%20x_2%20%5Cmathrm%7Be_2%7D)$

因为 $%5Clvert%20%5Ctheta_2%20%20%5CDelta%20x_2%20%5Crvert%20%3C%20%5Clvert%20%5CDelta%20x_2%20%5Crvert%20%3C%20%5Cdelta$ 所以

$%5Clvert%20f(%5Cmathrm%7Bx%7D%2B%5CDelta%20x_1%20%5Cmathrm%7Be_1%7D%2B%5CDelta%20x_2%20%5Cmathrm%7Be_2%7D)%20-f(%5Cmathrm%7Bx%7D%2B%20%5CDelta%20x_1%5Cmathrm%7Be_1%7D)%20-%5CDelta%20x_2k_2%20%5Crvert%20%5Cle%20%5Clvert%20%5CDelta%20x_2%20%5Crvert%20%20%5Cepsilon$

继续枚举可以得到

$%5Clvert%20f(%5Cmathrm%7Bx%7D%2B%5CDelta%20x_n%20%5Cmathrm%7Be_n%7D%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7D%5CDelta%20x_i%20%5Cmathrm%7Be_i%7D%20)%20-f(%5Cmathrm%7Bx%7D%2B%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7D%5CDelta%20x_i%20%5Cmathrm%7Be_i%7D%20)%20-%5CDelta%20x_n%20k_n%20%5Crvert%20%5Cle%20%5Clvert%20%5CDelta%20x_n%20%5Crvert%20%20%5Cepsilon$

再把左边相加得到应用三角不等式

得到

$%5Clvert%20f(%5Cmathrm%7Bx%7D%20%2B%20%5CDelta%20%5Cmathrm%7Bx%7D%20)%20%20-f(%5Cmathrm%7Bx%7D)%20-%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx%20_ik_i%5Crvert%20%5Cle%20%5Cepsilon%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7C%5CDelta%20x_i%7C$

注意到

$%5Cfrac%7B%5Cepsilon%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7C%5CDelta%20x_i%7C%20%7D%7B%5Csqrt%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20%5CDelta%20x_i%5E2%20%7D%7D%20%5Cle%20n%20%5Cepsilon$

令 $L%3D(k_1%2Ck_2%2C..k_n)$

于是就有了

$%5Cfrac%7B%5Clvert%20f(%5Cmathrm%7Bx%7D%20%2B%20%5CDelta%20%5Cmathrm%7Bx%7D%20)%20%20-f(%5Cmathrm%7Bx%7D)%20-%20L(%5Cmathrm%7B%5CDelta%20x%7D)%5Crvert%20%7D%7B%5Clvert%20%20%5CDelta%20%5Cmathrm%7Bx%7D%20%5Crvert%7D%20%5Cle%20n%20%5Cepsilon$

所以根据定义得到了可微性

再考虑 $%5Cmathrm%7BR%7D%5En%20%5Crightarrow%20%5Cmathrm%7BR%7D%5Em%20$ 的场景

为了方便我们临时定义一个算子 $%5B%5Cmathrm%7Bx%7D%5D_i$ , 若 $%5Cmathrm%7Bx%7D%3D(x_1%2Cx_2%2C..x_i%2C...x_n)$ 则有 $%5B%5Cmathrm%7Bx%7D%5D_i%3Dx_i$

容易证明这是一个线性算子，并且有如下的性质

$%5B%5Cmathrm%7Bx%2By%7D%5D_i%3D%5B%5Cmathrm%7Bx%7D%5D_i%2B%5B%5Cmathrm%7By%7D%5D_i$

$%5Bk%5Cmathrm%7Bx%7D%5D_i%3Dk%5B%5Cmathrm%7Bx%7D%5D_i$

$%7C%5B%5Cmathrm%7Bx%7D%5D_i-%5B%5Cmathrm%7By%7D%5D_i%7C%20%5Cle%20%7C%5Cmathrm%7Bx%7D%20-%5Cmathrm%7By%7D%7C%20%5Cle%20%5Csum_%7Bi%7D%7C%5B%5Cmathrm%7Bx%7D%5D_i-%5B%5Cmathrm%7By%7D%5D_i%7C$

有了这个算子后我们可以定义 $f_i(%5Cmathrm%7Bx%7D)%20%3D%20%5Bf(%5Cmathrm%7Bx%7D)%5D_i$ 尝试把多元问题转成一元的问题

引理: $%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%20f_j%7D%7B%20%5Cpartial%20x_i%7D%20(%5Cmathrm%7Bx%7D)%3D%20%5B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20x_i%7D(%5Cmathrm%7Bx%7D)%5D_j$

证明:

$%7C%5Cfrac%7Bf(%5Cmathrm%7Bx%7D%2Bt%20%5Cmathrm%7Be%7D_i)-f(%5Cmathrm%7Bx%7D)%7D%7Bt%7D-%5Cmathrm%7By%7D%7C%20%5Cge%20%7C%20%20%5B%5Cfrac%7Bf(%5Cmathrm%7Bx%7D%2Bt%20%5Cmathrm%7Be%7D_i)-f(%5Cmathrm%7Bx%7D)%7D%7Bt%7D%5D_j-%5B%5Cmathrm%7By%7D%5D_j%7C$

$%5Cge%20%20%7C%20%20%5Cfrac%7B%5Bf(%5Cmathrm%7Bx%7D%2Bt%20%5Cmathrm%7Be%7D_i)%5D_j-%5Bf(%5Cmathrm%7Bx%7D)%5D_j%7D%7Bt%7D%5D-%5B%5Cmathrm%7By%7D%5D_j%7C$

$%5Cge%20%20%7C%20%20%5Cfrac%7Bf_j(%5Cmathrm%7Bx%7D%2Bt%20%5Cmathrm%7Be%7D_i)-f_j(%5Cmathrm%7Bx%7D)%7D%7Bt%7D-%5B%5Cmathrm%7By%7D%5D_j%7C$

因此

$%5Cfrac%7B%20%5Cpartial%20f_j%7D%7B%20%5Cpartial%20x_i%7D%20(%5Cmathrm%7Bx%7D)%3D%20%5B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20x_i%7D(%5Cmathrm%7Bx%7D)%5D_j$

后面省略下期再写

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