《几何原本》命题2.13【夸克欧氏几何】

命题2.13：

在锐角三角形中，斜边上的正方形小于锐角两边上的正方形之和，其差为由该锐角其中一边上的高的垂足到锐角顶点之间一段与该锐角边所构成的矩形的二倍

已知：锐角△ABC，其中∠B是锐角，AD⊥BC，垂足为点D

求证S正方形AB2+S正方形BC2=S正方形AC2+2S矩形BC×BD

证：

∵点D在BC上

（已知）

∴S正方形BC2+S正方形BD2=S正方形CD2+2S矩形BC×BD

（命题2.7）

∴S正方形BC2+S正方形BD2+S正方形AD2=S正方形CD2+2S矩形BC×BD+S正方形AD2

（公理1.2）

∵Rt△ABD中，S正方形AD2+S正方形BD2=S正方形AB2

（命题1.47）

∴S正方形AB2+S正方形BC2=S正方形CD2+2S矩形BC×BD+S正方形AD2

（公理1.1）

∵Rt△ACD中，S正方形AD2+S正方形CD2=S正方形AC2

（命题1.47）

∴S正方形AB2+S正方形BC2=S正方形AC2+2S矩形BC×BD

（公理1.1）

证毕

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