证明“f（x）为无穷大，那么1/f（x）为无穷小”

牛顿314、证明“f（x）为无穷大，那么1/f（x）为无穷小”

2021年1月5日，网友“稻草人”发表名为《极限——极限运算法则证明》的图片文章。

…极、限、极限：见《欧几里得218~303》…

（…《欧几里得》：小说名…）

…运、算、运算：见《欧几里得121》…

…法、则、法则：见《欧几里得108》…

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

 

图片内容：…

…内、容、内容：见《欧几里得66》…

 

无穷大

…无、穷、无穷：见《牛顿136》…

…大、无穷大：见《牛顿310~314》…

 

定理：在自变量的同一变化过程中，如果f（x）为无穷大，那么1/f（x）为无穷小；

…定、理、定理：见《欧几里得2》…

…量：见《欧几里得27》…

…变、化、变化：见《伽利略10》…

（…《伽利略》：小说名…）

…过、程、过程：见《欧几里得194》…

 

反之，如果f（x）为无穷小，且f（x）≠0，那么1/f（x）为无穷大。

 

证明：设（x→x0）lim f（x）=∞，根据无穷大的定义，∀（任意）ε＞0，对于M=1/ε，∃（存在）δ＞0，当0<|x-x0|<δ时，有|f（x）|>M=1/ε，于是|1/f（x）|<ε

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

…∀、∃：见《牛顿309》…

…ε（伊普西龙）：希腊字母第五个字母，大写Ε，小写ε，拉丁字母的E是从ε变来…

…δ（希腊字母）：Delta（大写 Δ，小写 δ），是第四个希腊字母…

 

[无穷大

定义1 （直观定义） 绝对值无限增大的变量称为无穷大。

…直观：见《牛顿220》…

…变、量、变量：见《欧几里得29》…

 

定义2 （直观定义）

设函数f（x）在|x|大于某一正数时有定义。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数X，只要|x|>X（即x趋于无穷），对应的函数值f（x）总满足不等式|f（x）|>M，则称函数f（x）为当x→∞时的无穷大。

 

定义3

设函数f（x）在x0的某一去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ，只要x适合不等式0<|x-x0|<δ，对应的函数值f（x）总满足不等式|f（x）|>M，则称函数f（x）为当x→x0时的无穷大。

——见《牛顿311》]

……

证明：设（x→x0）lim f（x）=∞，根据无穷大的定义，∀（任意）ε＞0，对于M=1/ε，∃（存在）δ＞0，当0<|x-x0|<δ时，有|f（x）|>M=1/ε，于是|1/f（x）|<ε

根据无穷小的定义，1/f（x）为当x→x0时的无穷小。

 

[无穷小是极限为0的函数。如（x→x0）lim f（x）=0，是自变量x→x0，因变量极限为0的函数。此时f（x）就是x→x0的无穷小。

…

对于任给的正数 ε（无论它多么小），总存在正数δ（或正数M），使得不等式0＜|x-x0|＜δ（或|x|＞M）的一切x对应的函数值f（x）都满足不等式|f（x）-f（x0）|＜ε，则称函数f（x）为当x→x0（或x→∞）时的无穷小量。

记作：（x→x0）lim f（x）=0

或：（x→∞）lim f（x）=0

——《牛顿280》

 

按无穷大定义格式，《牛顿280》中无穷小定义可拆分为：

 

定义1 （直观定义） 绝对值无限减小的变量称为无穷小。

定义2 （直观定义）

对于任给的正数ε（无论它多么小），总存在正数M，使得不等式|x|＞M的一切x对应的函数值f（x）都满足不等式|f（x）-f（x0）|＜ε，则称函数f（x）为当x→x0（或x→∞）时的无穷小量。

定义3

对于任给的正数 ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得不等式0＜|x-x0|＜δ的一切x对应的函数值f（x）都满足不等式|f（x）-f（x0）|＜ε，则称函数f（x）为当x→x0（或x→∞）时的无穷小量。]

……

证明：设（x→x0）lim f（x）=∞，根据无穷大的定义，∀（任意）ε＞0，对于M=1/ε，∃（存在）δ＞0，当0<|x-x0|<δ时，有|f（x）|>M=1/ε，于是|1/f（x）|<ε

根据无穷小的定义，1/f（x）为当x→x0时的无穷小。

 

反之，设（x→x0）lim f（x）=0，且f（x）≠0，则根据无穷小的定义，有∀M>0，对于ε=1/M，∃δ＞0，0＜|x-x0|＜δ，有|f（x）|＜ε=1/M，由于f（x）≠0，从而|1/f（x）|＞M

根据无穷大的定义，1/f（x）为当x→x0时的无穷大。

“定理：两个无穷小的和是无穷小（有限个无穷小之和也是无穷小）

请看下集《牛顿315、数学符号min{}；证明“两个无穷小的和是无穷小”》”

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