今天稍微有些空闲，于是来回做一下高中题来找自信了[doge]由于评论区空白太小写不下，所以以下几题作为在答区给出的解法后的拓展

例(1)：

【24例60】黄冈市2024届高三九月调考11节选，数列易错题

后面经过细心的网友发现，原题存在歧义，这里对条件多加一个限制才严谨：

由于视频中写了详细过程，这里就点下思路即可

给条件的n换为n+1，然后两式相减利用消去Sn

(这是条件中同时含有an和Sn时的常规思路了)

快进到

于是是首项为19，公差为-2的等差数列

则

答区已经给出了简洁的写法(也就是直接判断bn的正负)，这多作一个拓展

ps:不是为了复杂化解决上面的问题，而是同一题可以有不同的提问，遇到相同类似的题可以进行拓展

就是对于这种连续等差的乘积项，其求和式也是初等的，给出以下几个模型以及证明

模型一：连续等差项相乘型

记为等差数列，

则有：

整理得：

那么这个新数列cn就可以用裂项相消了。观察其形式可知，其比bn少了个an，比b(n+1)少了个a(n+k+1)，因此对于这种等差连乘型的数列求和，关键步骤就是往最左/最右各多找一项，然后构造裂项即可

回到该题，

令

则有：

于是

两边求和得：

附上一道练习题：

第二问答案:(4n³+6n²-n)/3

再进一步拓展，如果是多项式型数列的求和，其有一般方法，可自行搜索"自然数等幂和问题"

模型二：连续等差项相乘取倒数型

记为等差数列，

则

整理得：

那么这个新数列cn就可以用裂项相消了。观察其形式可知，其分母比bn多了个a(n+k+1)；其分母b(n+1)少了个an，因此对于这种等差连乘取倒数型的数列求和，关键步骤就是往最左/最右各多去一项，然后构造裂项即可

例子：求的前n项和

令，则有：

整理得：

求和得：

例子的话去年的一张金太阳模拟(摸底考)卷考到了，但是不太记得线索所以没搜到就不贴了，总之这裂项在试卷上考到过。还有一道题是结合“莱布尼兹三角形”来考的，那张试卷估计早就扔了[doge]

在此基础上，我又回忆起有一道高考题就用到了这种裂项

相当于是对巴塞尔问题上确界π²/6的估计。放缩这一步就又是重点了，由于篇幅原因就先不作讲解了，先当练习~

还有一道是三角函数的小题~

【每日一题】当三角函数单调时，ω的取值范围

这题up主是用局部图(也就是直接用f(x)的图)来做的，还用了求导，未免显得麻烦了些，因此这里给出更常用的换元法来做

令，则需函数在上单调

ps:这是由于复合函数单调性的"同增异减"，内层函数在时单增，因此外层函数需在上单调

因此下面画出的图像进行讨论：

作出直观的图后，就可以以一种"动态思想"去分析问题了

当由0开始增大时，区间左端点由开始向左运动；

而区间右端点由开始向右运动；

因此这就在区间里面，那么只能是这个递增区间了

于是有

即的取值范围为：

好了，加大一下难度，那么这道题我把题干区间改为单调，那么该怎么做呢？

方法是一样的，依旧是换元

令，则需函数在上单调

当由0开始增大时，区间左端点由开始向右运动；

而区间右端点由开始向右运动；

这里就跟上一题有些区间，也是增加了难度的地方：上一题中两端点是异向运动的(一个向左移另一个向右移)；而这一题两端点是同向运动的(这里两个端点都向右移，且右端点移动幅度更大，这是由于)

因此这里就会出现多种情况需要分类讨论，如：

区间：

区间：

区间：

以此类推，需要进行多轮的讨论

而情况不是无数的，因为两端点在向右运动的过程中，由于起点均为，而右端点运动速度始终比左端点运动速度大(即)，因此区间长度也在增大，当充分大时，区间长度>半个周期(即)，那么随后这个区间就无法再含于任何一个单调区间

也即上面方框框住的这个式子是其中一个必要条件

当然这个也可以不需要解，后面的分类解不等式时会包含于此，下面的步骤才是关键的：

通过前面的数形结合分析知，第一种情况是，那么这时就需要满足：

第二种情况是，那么这时就需要满足：

...以此类推，我们发现解不等式的步骤是一样的，因此我们可以先概括单调区间的一般形式：

ps:至于k取负整数的情况就无需考虑了，因为两端点都是由开始向右运动，因此在区间左边的区间就到不了无需考虑了

当时，分别需满足：

也即取特定的k(让区间属于其中一个单调区间)时对应的ω的取值范围

要保证区间非空，则需

该范围内的自然数解有：0,1,2,3,...,9

于是分别讨论(将此时的k代入上面标蓝的那个区间中)，最后再并起来，即有：

(1)当k=0时，；

(2)当k=1时，；

....

(10)当k=9时，；

综上，ω的取值范围为：

这题出的情况有些多哈哈，怪出题时没有"题德"(具体可以修改题目让原区间间隔宽些，讨论的次数就会少些)，但掌握思路是必须的。

然后这里有必要给大家一些小提醒，就是上面篇幅较长，主观上会让人觉得没有想看下去的欲望(bushi)，而实际上的书写过程就几行而已。另一方面而言，这是对分析的详细分析，带读者一步步进行梳理，我觉得既然是讲题，那么我认为把思路一步步讲清楚是前提，在此前提下再进行高度浓缩，因此“言简意赅”并不是很容易达到的程度

附上一道思考题：

这是以前一位网友问的一道难题，跟此类题相关所以拿出来分享了

结合上面的思路，这里就只给出关键步骤了：

令，则需在上有3个零点

则

(即包含)

ps:这里要留意不等号能否带等的问题，要使得区间严格包含相邻的3个零点(不少也不多)

解得：

要让其解集非空(即二者有交集)，则需：

此范围内的自然数解有：k=1,2

当k=1时，解集为：；

当k=2时，解集为：

综上，ω的取值范围为：

故选C

这是在三角函数小题里比较难的一道题了，但如果严格按上面的分析流程走，每一步都认真完成也能完美地做出来。我认为这类题分析的关键在于画出整体图后对区间端点的讨论(要以动态思想去分析区间的变化(端点左移还是右移))

正如数学家华罗庚所言："数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休。"