很水的数学分析089：幂级数的运算

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一、Abel第二定理完结。

1.Tauber定理条件改为｛an｝非负也成立。

理由：因为非负，故∑(n=0到∞)anxⁿ≥∑(n=0到N)anxⁿ，已知前者收敛，后者只能收敛。

2.重要思想：广义化。“扩招”

定义：若lim(x→1-)∑anxⁿ=A，则称∑an在【Abel意义下收敛】，收敛到A。

（即某幂级数在端点处虽然不连续（没有定义），但有极限。）

3.经过一节课的铺垫，很容易理解：

Cauchy意义下收敛⇨Abel意义下收敛

以后还会讲，Cauchy意义下收敛⇨Cesaro意义下收敛⇨Abel意义下收敛（Frobenius定理）

4.Abel第一定理、Abel第二定理结合Cauchy定理秒杀Abel定理。

（有了，Abel第二定理，幂级数好像数项级数的“辅助线”）

5.级数里面的“Abel宇宙”

Abel分部求和⇨Abel引理⇨Abel判别法⇨Abel第二定理

Abel第一定理、Abel第二定理⇨Abel定理

因为幂级数跟数项级数一一对应，所以研究在幂级数上做运算。

二、幂级数的运算。

6.幂级数的乘积。在收敛半径内应用Cauchy定理推得。可以延伸出无穷次幂的问题，即重级数，有换序、级数除法等问题。