区间套在实分析的应用(1)

2023-06-05 11:16 作者:~Sakuno酱 0人读过 | 我要投稿

首先我们承认选择公理

思考这样一个区间套

$A_1%20%3D%20%5Ba%2Cb%5D$

然后我把 $A_n$ 拆成两个区间 $%5Ba%2C%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%5D%5B%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%2Cb%5D$

有那么一个对应规则 $f%3A%20%5Ba%2C%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%5D%2C%20%20%5B%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%2Cb%5D%20%5Crightarrow%20%5Bx%2Cy%5D$ 让我从 $%5Ba%2C%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%5D%5B%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%2Cb%5D$ 选择一个生成 $A_%7Bn%2B1%7D$

然后我又有一个对应规则 $g%3A%20%5Bx%2Cy%5D%20%5Crightarrow%20z$ 让我可以从上面任意一个区间 $A_n$ 里面去取一个实数，那么 $%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7Dg(A_n)$ 是否存在呢?

答案显然是的

证明如下：

首先区间的长度 $%7CA_n%20%7C%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D(b-a)$

$A_%7Bn%2B1%7D$ 是 $A_n$ 的子集，从 $A_%7Bn%2B1%7D$ 取一个数也相当于从 $A_n$ 中取一个数两个数的距离肯定小于 $A_n$ 的区间长度所以有

$%7Cg(A_%7Bn%2B1%7D)-g(A_n)%7C%20%5Cle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D(b-a)%20$

以此类推

拓展到 $n%2BN$ 再运用三角不等式得到

$%7Cg(A_%7Bn%2BN%7D)-g(A_%7Bn%7D)%7C%20%5Cle%20(b-a)(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5E%7Bn%7D%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5E%7Bn%2B1%7D%7D%20%2B%20..%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5E%7Bn%2BN-2%7D%7D)$

$%5Cle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5E%7Bn%7D%7D(b-a)(%201%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20..)%20%5Cle%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D(b-a)$

所以 $g(A_n)$ 是一个柯西序列因此 $%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7Dg(A_n)%20%3D%20c$

有了上述结论，我们可以去证一些比较难证明的结论，例如

闭区间上的连续函数有界

我们用反证法，假设 $h(x)$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上连续而且没有上界，那么我们把 $%5Ba%2Cb%5D$ 划分成两个区间

$%5Ba%2C%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%5D%20%5B%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%2Cb%5D$ 因为 $h$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 没有上界，所以 $%5Ba%2C%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%5D%20%5B%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%2Cb%5D$ 其中也一定有一个，使得 $h(x)$ 没有上界

以此类推我们就得到了一个区间套

$A_1%3D%5Ba%2Cb%5D$

$A_%7Bn%2B1%7D%3D%20$ 把 $A_n$ 二等分，选择一个 $h(A_n)$ 没有上界的区间

我们再定义 $g(A_n)%20%5Cin%20%5C%7Bx%20%5Cin%20A_n%20%5Cmid%20f(x)%3En%5C%7D$ 因为 $A_n$ 是没有上界的所以可以这样定义

于是我们构造出了一个点 $c%3D%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7Dg(A_n)$

但是 $%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7Df(g(A_n))%20%3D%20%5Cinfty$ 这就矛盾了

实数集合的上确界定理

假设 $S$ 是一个非空的实数集，并且 $S$ 有上界 $M$ ，我们在 $S$ 中任取一个元素 $a$

下面开始构造区间套

$A_1%3D%5Ba%2CM%5D$

我们把 $A_n%3D%5Ba_n%2CM_n%5D$ 二等分为 $%5Ba_n%2C%5Cfrac%7Ba_n%2BM_n%7D%7B2%7D%5D$ 和 $%5B%5Cfrac%7Ba_n%2BM%7D%7B2%7D%2C%20M%5D$

如果 $%5Cfrac%7Ba_n%2BM_n%7D%7B2%7D%20$ 是 $S$ 上界我们取 $A_%7Bn%2B1%7D%3D%5Ba_n%2C%5Cfrac%7Ba_n%2BM_n%7D%7B2%7D%5D$

否则我们取 $A_%7Bn%2B1%7D%20%3D%20%5B%5Cfrac%7Ba_n%2BM_n%7D%7B2%7D%20%2CM_n%5D$

于是这个区间套有这么一个性质

如果 $A_n%3D%5Bx%2Cy%5D$ 那么 $x%20%5C$ 不是 $S$ 上界而且 $y$ 是 $S$ 的上界证明很简单这里就不证明了

我们取

$g_1(A_n)%3Dg_1(%5Bx%2Cy%5D)%3Dx$

$g_2(A_n)%3Dg_2(%5Bx%2Cy%5D)%3Dy$

说人话就是 $g_1$ $g_2$ 分别取区间的左端和右端

于是

$%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7Dg_1(A_n)%20%3D%20%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7Dg_2(A_n)%20%3D%20c$

这个 $c$ 就是上确界了

因为 $g_2(A_n)$ 都是上界

$g_1(A_n)$ 都不是上界所以一定小于等于所有的上界

所以 $c$ 又是上界又小于等于所有的上界

介值定理

$f$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上连续, $f(a)%3Cc%3Cf(b)$ 那么存在 $x_0%20%5Cin%20%5Ba%2Cb%5D$ $f(x_0)%20%3D%20c$

还是类似

$A_1%3D%5Ba%2Cb%5D$

如果

$A_n%20%3D%20%5Bx%2Cy%5D$ 从 $%5Bx%2C%5Cfrac%7Bx%2By%7D%7B2%7D%5D%20%5B%5Cfrac%7Bx%2By%7D%7B2%7D%2Cy%5D$ 这样挑选出 $A_%7Bn%2B1%7D$

若 $f(%5Cfrac%7Bx%2By%7D%7B2%7D)%20%5Cle%20c$ $A_%7Bn%2B1%7D%20%3D%20%5B%5Cfrac%7Bx%2By%7D%7B2%7D%2Cy%5D$

否则 $A_%7Bn%2B1%7D%20%3D%20%5Bx%2C%5Cfrac%7Bx%2By%7D%7B2%7D%5D$

以此类推可以发现若 $A_n%3D%5Bx_n%2Cy_n%5D$ 则有 $f(x_n)%20%5Cle%20c$ 而且 $f(y_n)%20%3E%20c$

因为 $f$ 连续，根据两边夹法则我们就找到了 $x_0%20%3D%20%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7Dx_n%20%3D%20%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7Dy_n$

$f(x_0)%3Dc$

有界数列必有收敛子列

这个定理可以用于证明最值定理和闭区间上连续函数的一致连续性非常有用

证明:

假设 $%7Ca_n%7C%20%5Cle%20M$ ,

我们取 $A_1%3D%5B-M%2C%20M%5D$

若 $A_%7Bn%7D%3D%5Bx%2Cy%5D$ $A_%7Bn%2B1%7D$ 从 $%5Bx%2C%5Cfrac%7Bx%2By%7D%7B2%7D%5D%20$ 和 $%5B%5Cfrac%7Bx%2By%7D%7B2%7D%2Cy%5D$ 中选择选择那个包含无限个 $%5C%7B%20a_n%20%5C%7D$ 中元素的那个区间