前置知识

法线贴图，图形学，向量运算，导数等

算法

先不去想如何从一张纹理去生成法线，因为图片是一个二维的存储结构，处理起来的话会比较复杂，写成方程的形式则是 f(u,v) = pixel color 

我们进行一个降维处理，假设我们现在有段曲线，f(x) = y，这样变量就变为一维的了。那么对于一个曲线，我们如何获取曲线一个点上的法线呢，自然可以想到对该函数求一阶导，因为某个点一阶导的结果为过这个点切线的斜率，那么该点的法线的斜率与切线的斜率乘积。现在我们知道点，知道斜率，自然可以求得法线的方程。

扩展到二维的话，也是同理，先对一个点的一个方向求出法线，再对另一个方向求出法线即可。但是！我们既然在这个过程中会求得两个切线，那直接做一个叉乘即可获得垂直于这两个向量的第三个向量，即是法线，所以思路就清晰了。

求切线->算法线

但是按这个思路对一张纹理进行运算会有一个问题，那就是纹理储存的是RGB值，这个值和法线是没有关系的，所以我们需要一张描述该纹理的高度图，然后用该高度图去求法线向量。

那没有高度图怎么办呢，那就用一个神奇的公式，奖图片转为灰度图（不要问我这个公式怎么来的，只能说基于经验）

代码如下

看看效果

求切线

有了高度图之后就要求切线了。因为一张图是由许多个像素点组成的，所以是离散的，那么就需要用到导数的证明过程那个极限的写法了。

但是在实际计算中，我们要的是切线向量，而这个求的是斜率，不是我们想要的。那么切线向量怎么构造呢，回到一维的情况，假设我们有切线方程 ，那么切线向量则是。

那么回到二维的情况，我们也可以分别对x, y去进行一个切线向量的构造

获得这两个向量后进行一个叉乘便可获得法线向量了。代码如下

代码中有几个要注意的点，首先是生成法线的函数，多了两个参数分别来scale采样的步长和高度。步长好理解，控制生成法线的精度。那为什么需要高度的scale系数呢，因为对图片进行采样的时候，我们所选取的步长是非常小的（1/1024），但是高度差却很大（最大可能到1.0），这是远大于的，这就会导致切线向量过于接近Z轴，计算出来的法线x,y的值就很大了，所以需要引入一个scale系数来进行高度差的缩放。

最后将处于（-1，-1，-1）到（1，1，1）的法线转化到（0，0，0）到 （1，1，1）的空间下