【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep17】数字革命：开启新纪元（修复Ep16中的bug）
大家好，我是你们的好朋友老碧，又到了每天的数学阅读时间，激不激动，开不开心。——每天五分钟，数学更轻松！
今天给上一个话题收个尾，下一周，我们就要开启一个更加有趣的新话题了。
在此之前，我们对之前的所有内容做一个简单的回顾——
在Ep1，我们从一个惊世骇俗的发现开启了所有的话题，这个世界上居然有不是分数的数——根号二。于是，扩充数系迫在眉睫——数系扩充之后，之前有理数存在的性质或公理，在新的数系中也必须成立，所以我们首先介绍了有理数的“序公理”、“域公理”和“阿基米德公理”。之后的首要任务便是两点：一，给出新数的精确定义；二，验证对新数也具有这些公理性质。
好吧，许多小朋友一定觉得，这明明是初中就学过的简单玩意儿，老碧这么少见多怪，大惊小怪，莫不是个孬子？为了说明这个发现曾对数学王国造成怎样深远沉重的影响，我们在Ep7和Ep8介绍了数学研究的两种发展思路时，我们就聊到了，在两千多年前，笃信着万物皆可度量的古希腊，根号二的发现撼动了数学学科的根基，并且直接冲击了人们的信仰，这个数字简直相当于地狱的象征。
直到两千多年后的十九世纪，我们才拥有了对无理数或者说实数的精确定义，这个定义的逻辑基础就是“排中律”，即非此即彼，我们在Ep2对“排中律”进行了一个简要的介绍，而为什么“排中律”在数学中是普遍接受的，我们在Ep8中进行了阐释。
我们对无理数的精确定义，源于无理数的最朴素定义——“不是有理数的数”，至此引出对数的分类，所有对无理数的精确定义，都源于对这个朴素定义的形式化表达。而最常见的定义有两种形式。
第一种源于“戴德金分割”理论中“有理数分划”的概念，我们在Ep2~Ep5（Ep4是休息日视频）对这个定义的逻辑进行了详细阐释，并且介绍了数学中两种最常见的证明思路——“定性式证明”与“定量式证明”，对应的常用方法分别是——“反证法”和“构造法”。
至此我们完成了对"有理数分划"的阐释，“无理数”对应的“有理数分划”是唯一的，而“有理数”对应的“有理数分划”则会存在两种情况，于是在Ep6我们阐述了数学语言“消歧义性”的原则，同时介绍了，类似的情况，我们会人为规定一种情况，以达到数学定义的“消歧义”，本书，“有理数”作为界数，总属于上组，自此实现“一一对应”。接着我们利用这个定义，给出了“实数的序”的概念。
在Ep9，Ep10（Ep11是休息日视频）我们验证了“序公理”在实数范围依然成立。同时介绍了一个精致的小命题——“如何从无限的角度定义等于”？
为了阐释这个小命题的有趣之处，我们在Ep12，用这个小命题证明了一个用有限角度来看完全无法理解的等式——3.500000……=3.499999……，我们还介绍了另一种算术的证明方法。
Ep13我们详细聊了聊“一一对应”的朴素理解与朴素证明思路，“一一对应”从集合论角度来说便是“双射”，是一种十分特殊的“映射”，在数学中应用广泛。
Ep14我们由构造“不是整数or有尽小数的数”引出了一种全新的数的定义“无尽小数”。
Ep15我们证明了每一个“整数”和“有尽小数”都有两个“无尽小数”的表达形式——本着消歧义性的原则，一本书只会选择其中一种作为其表达形式。
由Ep14和Ep15我们知道，任取一个实数，都有唯一的“无尽小数”与之对应。
Ep16我们引入了，无尽小数的“n位不足近似”与“n位过剩近似”的概念，以此为出发点，验证了，任意一个“无尽小数”也有唯一的一个“有理数分划”与之对应，即，对应唯一的实数。
自此，实数与“无尽小数”实现“一一对应”，我们验证了第二种实数的定义形式——“无尽小数”形式。
今天给“实数定义”这个大的话题收个尾，下一周就开始下一个有趣的话题——验证“实数”范围内，“有理数”存在的公理都成立。
9用无尽小数来表示实数
书中首先给出了关于“十进小数”的一个简要说明：
接着我们从一个“构造过程”得到了“无尽小数”的精确定义：
关于这个构造具体的阐释见Ep15——
类似于“无理数”的感性认知是“数轴上点对应的不是有理数的数”——更朴素的“无尽小数”的定义仅仅是“不是整数，且，不是有尽小数的数”，我们以此为出发点，结合“十进小数”的定义，导出了“无尽小数”。
接着我们验证了，“整数”或者“有尽小数”也有“无尽小数”的表示法——
这样，所有的实数就都可以统一在“无尽小数”这一个形式之下。
接着，我们验证了反过来的过程也成立——任给一个“无尽小数”，总能找到唯一一个实数与之对应——即总能找到一个“有理数分划”与之对应。
这种命题叫做“存在唯一性命题”，一般分两步，1.存在性证明，2.唯一性证明——唯一性证明普遍采取“反证法”，假设有其他值满足题设，导出矛盾。
先是存在性——
——Ep15的阐释中存在一点小bug，我们做一些补充——
对于任意无尽小数C.c1c2……cn……：
我们将所有小于C.c1c2……cn……的一切的“n位不足近似”的有理数组成一个集合，我们将所有大于C.c1c2……cn……的一切的“n位过剩近似”的有理数组成一个集合，就构造了一个“有理数分划”，其界数为“无尽小数”C.c1c2……cn……。
这个证明的难点在于，得理解n是在“由1向无穷”变化着，所以这个无尽小数的n位不足近似在不断靠近它，无限过程的靠近，即是相等。所以小于一切不足近似就会取到所有小于这个无尽小数的有理数，即下组。上组同理，所以这种分类得到的两个没有公共元素的集合覆盖了所有有理数。——符合“有理数分划”的定义。
自此我们得到，任取“无尽小数”，都有实数与其对应。
最后，书上又对“无尽小数”对应实数的“唯一性”进行了验证——
意思是说——
“n位不足近似”与“n位过剩近似”相差1/10^n，这由它们的定义可知——对于任意无尽小数C.c1c2……cn……，它的“n位不足近似”是C.c1c2……cn，它的“n位过剩近似”是C.c1c2……（cn+1），相差1/10^n；
详尽证明了，对于任意小的数e，都存在足够大的自然数n，使得1/10^n<e的证明，显然这是一个“定性式证明”，以“阿基米德公理”出发，我们总能找到足够大的自然数n——即，往大里取值，自然数的取值是无限的——所以，我们只需要得到一个不等式满足n>某个数的形式，在这个不等式成立的条件下，1/10^n<e恒成立即可。——之后我们聊到求极限的解题思路都是这样，逻辑起点，即“阿基米德公理”。
而为了得到n>某个数的形式，我们用到了“阿基米德公里”和指数函数10^n的性质——
a.我们首先观察我们的目标1/10^n<e，我们发现n在较小数的那一边；
b.为了得到目标形式，必然要把n移到较大数的那一边，我们选择两边同时乘以10^n，又有“小于”的定义，得到——e*10^n>1——即10^n>1/e时，目标成立；
c.我们知道，那么，我们已知由阿基米德公理，对于任何数a，都存在自然数n>a，在这里，a便是1/e；
d.这里做一点简单的思考，我们知道自然数的增长是一种等距离增长，0—1—2—……，相邻自然数的距离是相等的（这也是定义自然数的“皮亚诺公理”中很重要的一条），而10^n的增长，不仅相邻数之间存在距离，这个距离本身也在增长，而由起始点来看1—10—100—……，最小的距离也有自然数之间距离的9倍，故而，对任意的n，10^n>n；
e.结合c、d，我们就得到了，我们的目标10^n>n>1/e——即1/10^n<e；
结合1、2，结合我们在Ep12中详细阐释的那个小命题，我们很自然可以导出，一个“无尽小数”的“n位不足近似”与“n位过剩近似”在n趋于无限大之时，是相等的，等于这个“无尽小数”，亦即，由同一个“无尽小数”的“n位不足近似”与“n位过剩近似”而导出的“有理数分划”是唯一的，即，一个“无尽小数”对应唯一的实数。
至此导出“无尽小数”与实数“一一对应”，导出了实数另一个定义方式——“无尽小数”。
由“无尽小数”与实数的“一一对应”出发，自然可以导出上图那些推论，比如A.a1a2……ak99999……和B.b1b2……bj00000……这种形式的数，只可能来表示整数或者有尽小数，因为，整数和有尽小数对应9循环或者0循环，由于“一一对应”，所以反过来也成立，得到结论。
小数按照有尽，无尽，循环，不循环，显然分为四类：
有尽循环（含整数）；
有尽不循环；
无尽循环；
无尽不循环。
其中前三种都可以统一在“无尽循环小数”的形式下，为“有理数”，那么由“无理数”的朴素定义——“不是有理数的实数”——可以得到，第4种即为“无理数”的定义——“无尽不循环小数”。
另外，教材表明，我们在研究无理数时，常常使用工具——无理数的“n位近似”，我们只需要在最后令n趋向于无穷大，即可以等效于直接研究“无理数”本身。
如果想进一步了解“无尽小数”的宝宝，可以看看“华师”《数学分析》的第一章和附录部分，附录部分理解起来是有一点点复杂的；或者看看张筑生老师的《数学分析新讲》第一册，实数部分有一小部分看起来也是有一丢丢绕的——当然，也可以等以后老碧发文阐释。
今天聊到这里，下一周——新纪元！
