【零基础学经济Ep63】查漏补缺——数学基础（五：史老师视频微分方程）+经济概念梳理

整理史济怀老师视频课中关于常微分方程的内容，然后继续聊“无差异曲线”。

part 1 史济怀老师视频课微分方程部分

&2.一阶微分方程

一阶微分方程——形如F（x，y，y'）=0的关系式——y为未知函数，x为自变量，含有y的一阶导数的方程。

&2.2齐次方程

（续上）    

例子——解方程dy/dx=y/x+（x^2+y^2）^（1/2）/x

解：令y=ux，由dy/dx=y/x+（x^2+y^2）^（1/2）/x得到d（ux）/dx=ux/x+[x^2+（ux）^2]^（1/2）/x=u+（1+u^2）^（1/2）|x|/x——

a.当x>0时

1. d（ux）/dx=u+（1+u^2）^（1/2）；

2. u求导为u'=du/dx，x'=1；

3. 则由函数乘法求导法则知：左式=xu'+x'u=x（du/dx）+u=右式，即x（du/dx）+u=u+（1+u^2）^（1/2），即x（du/dx）=（1+u^2）^（1/2）——回归到变量分离的类型；

4. 将相同变量移到一侧：du/（1+u^2）^（1/2）=dx/x；

5. 两边积分得到，ln[u+（1+u^2）^（1/2）]=ln x+ln c；

6. 底数相等，u+（1+u^2）^（1/2）=cx；

7. 将u=y/x代入，左边=y/x+[1+（y/x）^2]^（1/2）=y/x+[（x^2+y^2）/x^2]^（1/2）=y/x+[（x^2+y^2）]^（1/2）/x=右边，即y/x+[（x^2+y^2）]^（1/2）/x=cx；

8. 解得方程：y+[（x^2+y^2）]^（1/2）=cx^2。——到这一步即可，记作A式。

   也可以化简得好看一些（手动狗头）：

9. 左右同时乘以y-[（x^2+y^2）]^（1/2）：左边=y^2-（x^2+y^2）=-x^2，右边=cx^2{y-[（x^2+y^2）]^（1/2）}；

10. 左边=右边：-x^2=cx^2{y-[（x^2+y^2）]^（1/2）}，即y-[（x^2+y^2）]^（1/2）=-1/c——记作B式；

11. 将A、B式相加得：2y=cx-1/c，即y=（cx-1/c）/2，即为所求解。

b.x<0时，结果一致。

可化为齐次方程/可分离变量的方程——这部分内容和同济内容大同小异

定理——形如dy/dx=（ax+by+c）/（a1x+b1y+c1）的微分方方程在c=c1=0时为齐次方程，当c和c1至少有一个不为0时，可以做相关变换，使其转化为齐次方程，令——

1. x=X+h，则dx=dX；

2. y=Y+k，则dy=dY；

3. 1、2中h和k是待定的常数，所以我们要列方程组，解出它们，这部分内容，涉及到了《线性代数》里的克莱姆法则。——我们由这个方程组解的有无，来判定，这种类型的微分方程，转化的方式。

过程——

1. ax+by+c=a（X+h）+b（Y+k）+c=aX+bY+ah+bk+c，a1x+b1y+c=a1（X+h）+b1（Y+k）+c=a1X+b1Y+a1h+b1k+c；
   

2. dY/dX=dy/dx=（ax+by+c）/（a1x+b1y+c1）=（aX+bY+ah+bk+c）/（a1X+b1Y+a1h+b1k+c）；

3. 因为2中方程应该满足齐次方程的形式，故而得到方程组ah+bk+c=0且a1h+b1k+c=0；

4. 由克莱姆法则，当行列式ab1-a1b不等于0的时候，方程组有解，我们解出对应的k与h，将原方程转化为dY/dX=（aX+bY）/（a1X+b1Y）即可；

5. 由克莱姆法则，当行列式ab1-a1b=0的时候，则a1/a=b1/b=l，将l代入原方程，得到dy/dx=（ax+by+c）/[l（ax+by）+c1]；

   我们令v=ax+by，则dy/dx=（v+c）/（lv+c1）；

6. 又可得dv/dx=a+b（dy/dx），即dy/dx=（dv/dx-a）/b——y是关于x的函数；

   则dy/dx=（dv/dx-a）/b=（v+c）/（lv+c1），即dv/[（bv+bc）/（lv+c1）+a]=dx，转化为一个可分离变量的微分方程。

part 2 经济学概念——高鸿业

高鸿业《西方经济学》第三章：效用论——

第一节引入效用的概念——

效用——效用是指对商品满足人的欲望的能力评价，或者说，效用是指消费者在消费商品时，所感受到的满意程度。——一种主观心理评价。

效用的度量——

1. 基数效用论：边际效用分析方法——“效用单位”：表示效用大小的计量单位。

2. 序数效用论：无差异曲线分析方法——效用不可以具体度量，只能排序。

无差异曲线——无差异曲线是用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合的。——它是表示能够给消费者带来的效用水平或满足程度的两种商品的所有组合的。

效用函数——效用函数表示某一商品组合给消费者所带来的效用水平。

效用函数公式——U=f（X1，X2）=U'——X1，X2分别为两种商品的数量：U为效用水平，U'为常数，表示一个不变的效用水平。

无差异曲线基本特征（这里和平新乔书上一模一样）——

1. 由于通常假定效用函数是连续的，所以，在同一坐标平面上的任何两条无差异曲线之间，可以有无数条无差异曲线；

2. 在同一坐标平面图上的任何两条无差异曲线均不会相交；

3. 无差异是凸向原点的。

明天开始边际替代率。