前言

又“抛弃”了b站几天，再次回来更这搁置的下篇。

这次我们要谈的是一阶分式递推。

在此之前，我们要讲讲一阶分式函数(~表系数)的复合运算

记，

则有：

诶？我们看这系数的变化，这跟矩阵的乘法非常类似耶！

记矩阵，

则

因此，要算一次分式的复合运算，可以等价为计算其系数矩阵的乘积

即将类比为

ps:注意这里是“类比”而不是相等，右边矩阵算出的是第1行和第2行分别对于原式中的分子和分母

这是极大的一步突破！目前个人认知有限只通过上述暴算证明了其可类比性，或许有更底层的逻辑尚未挖掘，留予后续思考[滑稽]

举个例子练练手：

已知

求

写出上述函数对应的系数矩阵：

根据由里到外的顺序，以此进行矩阵乘法运算

因此

有了以上铺垫，我们就能推导一阶分式递推(c表系数)

记，则

于是有：

，

以此类推，我们发现，求下一项就是把上一项的值代回函数的自变量x中，要求就要对函数自身复合n-1次。而是一阶分式函数，根据上面的推导，我们可将复合运算等价为矩阵运算来研究。由于是自身复合，所以复合n-1次，那么矩阵就乘以n-1次方

举个例子，已知，

类比为

于是构成递推

我们要计算，因此要作n-1次变换，即

处理矩阵次方运算，同样采用对角化，

代入化简得：

还原分式，即：

稍加化简，即得：

也即上下同除，以及部分繁分数化简

有了这个背景，我们就可以证明一阶分式递推中一些神秘的周期结论了

如：已知，证明其是周期为3的数列

通过暴力迭代可以证明，而前文我们已经铺垫了利用矩阵将这一迭代进行等价转化的方法，于是我们可从更高的视角来欣赏这一变换

化为标准形式,类比为矩阵：

系数矩阵为：

经计算得，这时化为一个非零系数乘一个单位阵的形式，于是周期T=4

为什么有个非零系数也可以呢？答案是一阶分式系数的齐次性

矩阵4次方运算，即

还原分式，即：

注意这里分子分母的-1可约去，也即系数的齐次性，故单位阵前存在非零系数是允许的

我们再来看看系数矩阵的特征根：

于是对角化后，有：

其中

于是有

因此周期为3。而这，竟也是特殊辐角的旋转周期性造成的！也即从实轴开始以每次的单位转动，转3次恰好回到实轴

再如：

已知，证明其是周期为3的数列

同理，化为标准形式

系数矩阵：

有：

于是周期为3

系数矩阵特征根为：

因此也是旋转3次后回到实轴，与前例道理相同

同样，对角化的处理也在系数矩阵可对角化时使用，因此也还存在没有解决的情况，也即特征根为重根的情况，也先遗留于此后续再解决。

数学知识，是多么的美妙兼强大！许多云里雾里的“套路”也好，证明超出高中范围的“定理”也罢，我愿通过后续的学习与钻研，把先前的“迷雾”驱散，冲破应试的罩子去探寻数学那一份真实而优雅的美！

哈哈哈哈，我还是依旧的中二，尽量别活成自己讨厌的样子~(