戏说集合（2）

上文说到,对于集合问题首要的是弄清集合中元素,即运用"元素分析法",如果现在有这样两个集合A={1,2,3,4},B={1,2,3,4,5},我们来看这两个集合之间有什么关系.分析二者的元素可知,A中的每一个都是B中的元素,像这样由B中部分元素组成的集合A,我们称为集合B的子集,二者的关系称为包含关系,我们说A包含于B(或者说集合B包含A),这种关系在课本上有专门的数学符号来表示,请大家准确掌握.我们又知道,部分与全体是一个相对的概念,究竟多少算是部分,在这里就需要明确知道,实际上,集合的这种包含关系中,部分的上限就是全部,即最大的子集可以是集合本身,也就是说,我们可以说B是B的子集,但这样一来,这里"子集'中"子"的意义就有些名不符实了,因为"子"应该是小的意思,这里却有相等的意义存在,这也是大家容易忽视的地方,要特别小心.为了真正体现出子集中"小"的意义来,我们就在前面的基础上给出了"真子集"这样一个概念,它与子集的唯一区别就是两个集合不能相等,即若A是集合B的真子集,A不但是B的子集,而且A中的元素至少要比B中少一个,也即A≠B.此刻我们也许会这样想,既然A中的元素不能和B中一样多,一定要少于B中的元素,那到底少到什么程度呢?A有一个元素算是最少的吗?没有算不算最少?A中要是没有了元素还是不是集合?说实在的,如果大家能这样想,这真是十分令人高兴的事,因为这也是我们接下来要着重探讨的问题.

   一个集合没有元素了,究竟还算不算一个集合?如果算,那它又是怎样一个集合?而且我们感觉,这一点似乎与集合的定义不太一样.但我们不妨先来看一看数字中的'0',如果没有0的话,2-2=?这样的运算还能进行吗?为了数学运算的合理与完备,我们给出了0,于是自然数有了开始,数轴有了原点,相同数字的减法运算有了意义,尽管0也让我们的除法运算有了限制,让我们的分数需要格外小心分母不能为0,但0的出现的确是十分必要而且绝对必须的.类似地,为了集合理论的完备和合理,我们也给出了一个特殊的集合:空集.我们把不含任何元素的集合称为空集,用字母Φ表示,跟自然数集,整数集一样,属于专有的表示方法.这样没有元素的集合就理所当然地算一个集合了,而且是一个特殊的集合.特殊在哪里?空集是任何集合的子集,空集也是任何非空集合的真子集.今后在许多的问题当中,空集也是容易被遗忘,但却是造成题目解答不完整的关键所在.

(2006-09-23 11:29:24)