拓扑同胚

设（X，d）与（Y，ρ）是度量空间，f；X→Y是一一对应（即 f 既是单射也是满射），若f；（X，d）→（Y，ρ）和 f ^-1 ； （Y，ρ）→（X，d）都是连续的（这里的 f ^-1  表示 f 的逆映射），则称  f  是度量空间（X，d）到度量空间（Y，ρ）的一个同胚映射。如果（X，d）与（Y，ρ）之间存在同胚映射，则称（X，d）与（Y，ρ）同胚。

设P是一个性质，对于任意的度量空间X，若X具有性质P，则与X同胚的所有空间都具有性质P，这时称P为同胚不变性质或者拓扑性质。

不是拓扑性质的有；度量 度量的有界性 集合的直径  集合的有界性 球形邻域

是拓扑性质的有 ； 开集 闭集 稠密集 无处稠密集 离散集 集合的闭包 内部 边界 序列是否收敛及它的极限   点的邻域 映射是否连续 是否是开（闭）映射

验证一个性质P是否是拓扑性质的简单而实用的方法是看此性质能否用开集及集合的运算等价地表示出来。实际上 当我们证明了性质P可以用开集及集合的运算来表示时，P就是拓扑性质。如果我们能给出两个同胚的空间，一个有性质P，另一个没有性质P，那么可以说明性质P不是拓扑性质。

设X和Y都是拓扑空间，f；X→Y是一个一一映射。如果 f 和它的逆映射都连续，则称 f  是 X到Y的同胚。