关于椭圆切线的另类解法

关于数学中椭圆切线的另类求法

已知两定点A(-2,0)和B（2,0），动点P(x,y)在直线y=x+3上运动，椭圆C以A、B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为多少？

分析：首先我们有a^2=b^2+c^2

      其中c=2恒成立，要求离心率的最大值，我们只需使a最小

      随着a的减小，椭圆会逐渐远离直线，依据题目意思，椭圆与直线有交点 

      故存在一个临界值恰好相切，此时a为满足题意的最小值                                   

      进而此题转化为求c=2且有一条切线为y=x+3的椭圆的离心率  

如图 

  图中即为相切情况 要求此时椭圆的离心率，我们一般选择将直线方程代入椭圆，再利用∆=0求解，而这计算量并不算小，我们再看另一题

已知椭圆C的方程为x^2/4+y^2=1，求x+2√3y的最值？

这道题目有两种常见解法

解法一：令x=2cosɑ，y=sinɑ ,代入x+2√3y，利用辅助角公式求最值

解法二：令x+2√3y=m，那么这样/m/就变成了直线在x轴上的截距

        相切时截距最大，利用上题中求切线的方法可求

通过这两道题目，我们不难发现其中的联系，我们可以使用三角函数来求得椭圆的切线。

第一题中，设椭圆的方程为x^2/a²+y²/（a^2-4）=1，这样我们就可以令x=acosɑ   y=√（a^2-4）sinɑ

y= x+3是它的切线，说明y-x=m中m的最值为3

将x=acosɑ  y=√（a^2-4）sinɑ代入y-x=m，再利用辅助角公式有y-x=√(a^2-4+a^2)sin（ɑ+Θ）  tanΘ=a/√（a^2-4），其中y-x最值为3                                    故√(a^2-4+a^2)=3解得a=√26/2，即离心率最大值为2√26/13。

通过这样的方法我们可以省去极大的麻烦，很快算得答案。

尝试将其进行推广。

如果我们遇到这样一道题，求经过某点的切线。分两种情况，一是点在曲线上，一是点在曲线外。对于点在曲线上，我们可以直接利用二级结论求解。

对于椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上的点P（m，n）其斜率为-b^2m/a^2n

对于双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1上的点P（m，n）其斜率为b^2m/a^2n

对于y^2=2px上的点P（m，n）其斜率为p/n

对于x^2=2py上的点P（m，n）其斜率为m/p

在曲线上又分为在坐标轴上与不在坐标轴上

坐标轴上:例如（0，n），不妨令切线为y=kx+n，即y-kx=n，将其用三角换元代换，同上用辅助角公式即可求出k的值。

不在坐标轴上：在曲线外与其为同一种解法。例如P（m，n），设切线为y-n=k（x-m），整理有y-kx=n-mk，同上三角代换及辅助角公式可求解。

不妨试试这道改编题

求经过（1,4）的椭圆2x^2/13+2y^2/5=1 的切线？

解：设切线方程为y-4=k(x-1)，即y-kx=4-k

另设x=√26/2cosɑ y=√10/2sinɑ 代入直线√10/2sinɑ-√10/2kcosɑ =4-k                                                  根据辅助角公式有√(10/4+26/4k^2)sin（ɑ+Θ）=4-k  tanΘ=-(√65)k/5

切线中满足4-k为最值，故而√(10/4+26/4k^2)=4-k

解得k=1或-27/11

如此看来，这样的方法具有一定的适用性，简洁有趣，或许可以推广至所有可使用三角换元的曲线。