一维非齐次波动方程

考虑一维的弦振动，

初始条件为，

假设边界条件为两端固定，。在此类边界条件下，空间基函数为 ，其中 。将  和  分别在空间上展开成傅里叶级数，

其中展开系数为，

代入初始条件，将展开系数记为，

将级数形式代回原方程可得，

要满足以上方程，需要对任意的  都满足，

于是原定解问题就转化为了二阶非齐次常微分方程的定解问题，

利用拉普拉斯变换求解。假设变换后的像函数为，

由拉普拉斯变换的基本性质可得，

变换后的方程为，

得到相空间中的解，

对其求逆变换，

前两项为常用的三角函数，最后一项为两个函数的卷积，

代回到  的级数形式，可得到最终的通解，