引言

2023-02-28 11:11 作者:physike 0人读过 | 我要投稿

Lynn E. H. Trainor, From Physical Concept to Mathematical Structure: An Introduction to Theoretical Physics 的读书笔记

量子力学是高度发展和取得高度成功的线性理论的一个引人注目的例子. 按 T.Kuhn1.1的意思来说, 它构成了科学家们的现行范例的一个必不可少的部分. 量子力学是一种重实效的理论，这是因为它给出了近代技术的许多奇迹; 除此之外, 它还是一种艺术创造, 它把优美而又复杂的概念框架, 用精致的数学明确而又清晰地表达了出来, 里面还包含着精心考虑过的和吸引人的测量理论.

然而, 量子物理学的学生不应该期望量子力学会告诉他, 世界为什么会是现在这个样子的, 因为它仅仅描述了世界现在的样子. 关于“为什么”的这一类问题基本上是形而上学的, 而且在很大程度上来说, 是不适合作为物理学讨论的主题的. 严格意义下的物理学, 其目标是对于物理现象去找一个在理论上和美学上都令人满意的描述. 这并不意味着人们不应去尽力将理论公理化, 事实上, 我们也应该尝试这样做; 但是这些公理应该被看成是描述现象的方便的基础, 而不是作为显然的或实际上的逻辑实体. 归根结底, 一个理论是由一组可以通过实验验证的命题来证实的, 而不是由一组先验的公理. 只有在一组命题或猜想的结果被实践检验以后, 人们才会相信包含它们在内的公理化基础.

关于公理化基础的深一层的警告来自著名的 Gödel 定理1.2. 这一定理的意义是, 具有完备的和令人满意的公理化基础的数学结构是不存在的, 这就是说, 对于一组给定的公理, 我们总可以提出一些没有 (额外) 附加公理就无法解答的问题. Von Neumann 和其他物理学家把量子力学公理化的种种卓越的方案都是不完备的, 而且多半也不是没有矛盾的. 甚至在通常的逻辑中也不一致, 例如, Reichenbach1.3就曾证明过量子力学需要三值逻辑才能正确阐明. 除了这些问题之外, 正如 Wigner1.4和其他物理学家所指出的, 在量子力学和相对论的哲学基础之间的交界处, 也存在着深刻而令人困惑的问题.

虽然研究者在回答是什么构成了量子力学的一个令人满意的公理化基础这一问题时是不一致的, 有时几乎是极端不同的, 但是, 他们每人对如何进行实际计算, 以及对相互作用量子粒子的特殊体系进行实验来验证结果的标准做法几乎都是一致的. 由此看来, 写出一些计算法则应该是有用的. 它们同时也相当于一组命题, 因为它们既提供了一个运算结构, 也包含了一个新的概念框架.

这种观点基本如下: 一个孤立的微观体系的所有可能的状态, 可以用一个线性矢量空间 (记为 LVS) 中的矢量 (称为态矢量) 来描述. 如果此 LVS 是用某一流形中的 Lebesgue 平方可积函数来实现的话, 那么我们就可以谈及波动力学, 因为我们通常把这些函数解释成几率波振幅. 我们假定关于一体系可能得到的所有信息都包含在态矢量或波函数之中 (这要视具体情况而定) . 这些信息是通过线性算符作用于态矢量而提取出来的, 适当的算符实际上代表了对该体系中某些物理量 (例如, 动量、能量、位置、质量和自旋) 的测量. 态矢量本身是不可观测的. 体系的“可观测量”是与适当的提取算符相关联的, 它们的本征值构成了可能的测量结果.

为简单起见, 而且又因为对于波运动我们可以得到直观的概念, 我们将首先使用波动力学的描述方法, 同时记住每一样东西都可以转化到有关态矢量的表述方法中去. 用近代的话来说, 这相当于从 Schrödinger 理论变换到 Heisenberg 矩阵力学中去. 还是为了简单起见, 在开始时我们仅考虑 1 维非相对论性的无内部结构的单个点粒子. “位置变量”在下述意义上可能被看作是广义的, 即它现在代表 1 维空间中的任意点, 而今后它能代表 3 维空间中的一点, 或者甚至是空间中 $%20%5Cboldsymbol%7Br%7D_%7B1%7D%20%E3%80%81%5Cboldsymbol%7Br%7D_%7B2%7D%20%E3%80%81%20%5Cboldsymbol%7Br%7D_%7B3%7D$ 处的好几点 ( $%5Cboldsymbol%7Br%7D_%7Bi%7D$ 对应于第 $i$ 个粒子的质心的可能位置) 等等, 或者甚至代表这些变量加上某些内部变量, 诸如自旋或同位旋或者它们两者. 以后我们将简要讨论一下, 为了能容纳内部结构, 以及还有相对论协变性, 我们应作出的一些修改.