本人所有战力作品的共用盒子

符号定义：

【01】　集合{}符号

///////////////////////////　zf系统里元素也是集合

集合１　＝　{ 集合２，集合３, ...}

例如　r　＝　{　{ },　{{ }},　{{ },{{ }}}　}

zf里只有空集和嵌套空集　其它集合均为各种空集的编号

a={ }=1　　b={{ }}={1}=2　　c={　{ },　{{ }}　}={1,2}=3

r={a,b,c}={1,2,3}={　{ },　{{ }},　{{ },{{ }}}　}

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【02】　∈符号

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集合1∈集合2

a∈b　ａ属于ｂ　集合a是集合b中的一个元素

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其它符号　∪　⊆　＝　之类　由上面2个原始符号用公理推导出

集合论ZFC公理系统

【１】外延公理：

∀ａ∀ｂ(　∀ｔ(　ｔ∈ａ　←→　ｔ∈ｂ　)　→　ａ＝ｂ　)

/////////////////////////　构建等号　＝

（t属于a　当且仅当　t属于b）　所以　a＝b

ｔ在ａ中　绑定　ｔ在ｂ中　　则ａ和ｂ的元素相同

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【２】空集存在公理：

∃ｒ∀ａ(　ａ∉ｒ　)

/////////////////////////　r＝∅　构建空集

对于所有可能的a　a全都不属于r　r存在

所以r只能是空集

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【３】无序对集存在公理：

∀ａ∀ｂ∃ｒ∀ｔ(　ｔ∈ｒ　←→　(　ｔ=ａ　∨　ｔ=ｂ　)　)

/////////////////////////　构建不超过二元的无序集

(　存在r 以t为元素　)　当且仅当　(　t是a或者b　)

t在r里面　且只能ab二选一　r当然只有2个元素

其中　r={a,b}　二元集合

一元：a=b时　r={a}

拿到上面新做好的空集∅

假设1　a=b=∅　　　　　　　r1={a}={∅}

假设2　a=∅　　b= r１={∅}　　r２={a,b}={∅,{∅}}

重复1可得无数个一元集合　{∅}　{{∅}}　{{{∅}}}　.....

重复2可得无数个二元集合　{ ∅,{∅,{∅}} }　{ {∅,{∅}},{∅} }　......

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【４】并集存在公理：

∀ａ∃ｂ∀ｘ(　ｘ∈ｂ　←→　∃ｙ(ｘ∈ｙ ∧ ｙ∈ａ)　)

/////////////////////////　构建∪符号

(　存在b 以x为元素　)　当且仅当　(　存在y 以x为元素　并且　y属于a　)

a的元素的元素是x　　　单独考察某个a　

对于某ａ　∃b和∃y是有些区别　ｙ被y∈a所限制　ｙ的个数＝某ａ的元素个数

y1～yn每个y对应一些元素ｘ　

而ｂ没有被限制　无论假设几个ｂ　ｂ的元素都是一样的

所以ｂ是唯一的　ｂ的元素是所有ｘ

例如　y1={x1,x2}　y2={x3,x4}　a={y1,y2}={ {x1,x2},{x3,x4} }

所以　b={x1,x2,x3,x4}

写法　广义并：b＝∪a　　b＝∪{y1,y2} 　 常规并：b＝y1∪y2

建造完∪ 就可以用之前的二元集合 来创建二元以上的多元集合{x1,x2,x3,x4.....}

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【５】子集公理｜分离公理模式：

∀ａ∃ｒ∀ｘ(　ｘ∈ｒ　←→　ｘ∈ａ　∧　Ｐ(ｘ)　)

/////////////////////////　用关系公式Ｐ表示集合　

（ 存在ｒ 以x为元素 ）　当且仅当 （ｘ属于ａ　并且　ｘ满足Ｐ条件 ）

ｘ是ａ中所有满足Ｐ条件的元素　由于是充要推导　所以ｘ也都属于ｒ

ｒ是ａ的子集　用Ｐ条件从ａ里分离出来

如此得到新的集合表示方法　ｒ＝｛ｘ：Ｐ(ｘ)∧（ｘ∈ａ）｝　ａ可以是任意集合

ｘ∈ａ可以隐含在Ｐ(ｘ)里　ｒ＝｛ｘ：Ｐ(ｘ)｝

例如　交集　并集的定义

｛ｘ：ｘ∈ｄ　∧　ｘ∈ｃ　｝＝　ｃ∩ｄ

｛ｘ：ｘ∈ｄ　∨　ｘ∈ｃ　｝＝　ｃ∪ｄ

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【６】幂集公理：

∀ａ∃ｐ∀ｂ(　ｂ∈ｐ　←→　∀ｔ(　ｔ∈ｂ→ｔ∈ａ　)　)

/////////////////////////　构建幂集

(　存在p 以b为元素)　当且仅当　(　b是a的子集　)

后半部　∀t(　t∈b　→　t∈a　)　是子集的定义

对于所有t　（t属于b　一定有　t属于a）　所以b是a的子集　 同b⊆a

将ａ的所有子集b１～ｂｎ装进ｐ里　　这个ｐ称做ａ的幂集　

ｐ＝　Powerset（ａ）＝｛ｂ：ｂ⊆ａ｝

例如｛2，3｝的幂集　｛　∅　，｛２｝，｛３｝，｛２，３｝　｝

ａ的各元素ｔ自由组合成子集　　ｎ个元素集合的幂集有２的ｎ次幂个元素　

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【７】无穷公理：

∃ｓ（　∅∈ｓ　∧　∀ｘ（　ｘ∈ｓ　→　（ｘ∪｛ｘ｝）∈ｓ　）　）

/////////////////////////　可以用来构建自然数

存在某ｓ（ｓ中至少有空集）并且（ｘ属于ｓ　一定有　ｘ和｛ｘ｝的并集也属于ｓ）

用元素ｘ来递归创造无数元的集合ｓ　　（ｘ∪｛ｘ｝）称为ｘ的后继ｘ＋　

x属于ｓ　则ｘ的后继也属于ｓ　　每个ｘ都会对应一长串后继　　这种ｓ也叫归纳集

不是任何元素后继的元素就是初始元素

假设ｓ中的初始非后继元素只有一个∅　　这种ｓ＝ω　称做最小归纳集

那么∅就是起始元素　０＝∅　　１＝　∅∪｛∅｝＝｛∅｝　

２＝｛∅｝∪｛｛∅｝｝＝｛∅，｛∅｝｝

３＝｛∅，｛∅｝｝∪｛｛∅，｛∅｝｝｝＝｛∅，｛∅｝，｛∅，｛∅｝｝｝

这个ω可以用来象征自然数集合｛０，１，２，３．．．．｝

３为２的后继　　4为3的后继　．．．．

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【８】替换公理模式：

∀x∃!y Ｐ(x,y) → ∀m∃n∀b（ ｂ∈ｎ ←→ ∃ａ（ ａ∈ｍ ∧ Ｐ(a,b) ））

/////////////////////////　可以用Ｐ规则将ａ映射／替换为ｂ

如果P为函数 则→(存在n以b为元素　当且仅当 (存在a使 a属于m　且　满足P(a,b)))

函数P在m限制下　P的定义域domP被m缩小　因为P的参数a只能在m中取值了 不再∀x

被缩小后的函数记做(P↑m)　函数(P↑m)的值域ran(P↑m)　称做P在m下的象

ran(P↑m)＝{b:∃a(a∈m∧P(a,b))}＝ｎ

公理声明：　任意给定的集合ｍ和函数Ｐ　　P在m下的象一定存在且形成一集合ｎ

前半部是对函数的筛选　　∃!y表示只存在一个ｙ　

∀x∃!y P(x,y)　等价于　∀x∃y（　P（x,y）∧　∀t（P（x,t）→ｔ＝ｙ））

关系 P（x,t）对于某ｘ　所有的ｔ都只能等于ｙ　ｔ只有唯一对应

这样的关系　P（x,y）　叫做Ｐ函数　

Ｐ关系与Ｐ函数的区别：　

每个参数ｘ只对应出一个ｙ　Ｐ为函数

每个参数ｘ可对应出多个ｙ　Ｐ为关系　　关系大于且包括函数概念

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【9】正则公理：

∀ｓ(　∃ａ（ａ∈ｓ）→　∃ａ（　ａ∈ｓ　∧　∀ｔ（ｔ∈ａ→ｔ∉ｓ）　）　)

/////////////////////////　可以用来去除一些无限套娃类的写法　

（对所有非空集合s　存在元素a）一定会→（存在元素a　而且　a与s交集为空）　

后半部　∀ｔ（ｔ∈ａ→ｔ∉ｓ）等价于交集为空　　

对任意t元素　t属于a　一定有　t不属于s　所以a和s无共同元素　a∩s＝∅

前半部　∃ａ有声明ａ元素存在　说明只讨论ｓ不是空集的情况

也就是　正则公理要求　非空ｓ中要存在某元素与ｓ自身交集为空

ａ称为ｓ中的∈极小元 　　∈关系是良基的

极小元要求ａ只可以属于ｓ中的其它元素　但不可以把ｓ中的元素拿来给自己当元素　

所以a和s无共同元素　a∩s＝∅

这样就保证ａ是ｓ中这些∈关系链的最底层　　不会出现无限循环嵌套的情况　

例如　ｓ＝｛ｓ｝＝｛｛ｓ｝｝　　ｘ∈ｙ∈ｚ∈ｘ　之类的写法都和公理冲突

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【10】选择公理：

∀x( ∀a( a∈x → a≠∅ ) → ∃f( Fun(f) ∧ ∀a( a∈x → f(a)∈a ) ) )

/////////////////////////　创造选择函数

(a在x中 一定致 a不为空)则→((存在 f为函数)且(x中的a 一定使 f(a)是a的元素))

Fun(f)是一个函数判断模块　当ｆ是函数时　Fun(f)=真　ｆ不是函数时　Fun(f)=假

ｘ是一个由非空集合组成的集合　ａ是ｘ中某个非空集

f(a)称做选择函数　f(a)可以选取ａ中的某个元素

选择公理宣称　对于非空集的选择函数一定存在

通常一个无限的　元素没有识别特征的集合　靠枚举和特征公式都选不出元素来

只能随机选取一个　但数学是用严格的逻辑和演绎来搭建的　无法产生真正的随机

所以这个公理假装随机是存在的

这个公理不是公理模式和替换公理不同　所以模块Fun(f)的内部结构会复杂一些

Fun(f)⇔∀t(t∈f →　(∃m∃n(t=<m,n>) ∧ ∀m(m∈dom(f)→∃!n(<m,n>∈f)) ))

t满足f 则→(　(存在有序对<m,n>=t)并且(对任意f定义域中的m→只有1个值n满足f))

一个定义域中的ｍ只对应一个值域中的ｎ　正是函数的定义

其中ｆ的定义域　dom(f)模块的内部结构:　

dom(f)⇔{ m: ∃n(<m,n>∈f) }　　　　另外值域ran(f)⇔{ n: ∃m(<m,n>∈f) }　

<m,n>　<x,y>之类表示有序对　有序对也是亠种特殊的集合　元素之间有顺序

<m,n> ≠ <n,m>　　而无序对　{m,n}＝{n,m}　

有序对可以转化为普通集合的写法:　<m,n>＝{{m},{m,n}}

其中一个元素是另一个元素的子集　这样两个元素的先后顺序就被记录下来了

另外函数ｆ和关系ｆ　也都是一种集合　　ｆ是一种以有序对为元素的集合

例如　ｆ＝｛<x1,y1>, <x2,y4>, <x3,y1>, <x4,y2>.......｝

f中记录了每个x与y的映射关系

x1～xn 全在定义域集合domf中　　y1～ym 全在值域集合ranf中

f(x)是求f中ｘ的对应值　f(x)=y

公理中的<m,n>∈f写法　就表示ｍ和ｎ是满足ｆ的一对组合

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