谈谈方程根的变换

    前些日子有新闻说中国数学家成功证明微分几何学的核心猜想，但通过仔细阅读发现并不像文章标题那么夸大，只提到成功证明了“哈密顿-田”和“偏零阶估计”，然后就各种介绍微分几何了。其实那些拓扑理论可以通过变换，成为我们熟悉的内容，世界级猜想就不深入探讨了，今天用初中知识说说根的变换问题，三次方程求根有一个很长很长的公式，不过那么麻烦的内容一般都不是重点，今天利用根变换来看看不同结果的那些思惟吧！也许将来的你会根据变换思想举一反三，将椭圆积分研究透彻呢。

首先看看韦达定理

    就是根与系数的关系，如果n次方程

xⁿ+a1xⁿ⁻¹+a2xⁿ⁻²+…+an=0

有n个根，x1，x2，…，xn，那么每次拿出来1个根求和，其和为-a1，即

x1+x2+…+xn=-a1

每次拿出来不同的2个根取积，然后求和，其和为a2，即

x1x2+x1x3+…+x2x3+x2x4+…+xn-1xn=a2

以此类推，每次拿出来不同的k个根取积，然后求和，其和为[(-1)^k]ak，即

x1x2…xk+x1x2…xk-1xk+1+…+xn-k+1xn-k+2…xn=[(-1)^k]ak

……

x1x2…xn=(-1)ⁿan

    其实韦达定理还是很好证明的，就是待定系数法

以四次方程为例，如x⁴+x³-x²-x=0，易知

x1=0，x2=1，x3=-1，x4=-1

a1=1，a2=-1，a3=-1，a4=0

那么有

x1+x2+x3+x4=0+1-1-1=-a1

x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=-1-1+1=a2

x1x2 x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=1=-a3

x1x2x3x4=0=a4

    这样我们就可以求根的变换了，可以计算四类根的变换，倍根变换，对称根变换，幂根变换和倒根变换。

◇◆◇  1.倍根变换

    就是要求一个方程，使其根是原方程根的k倍，这里就拿三次举例子了，更高次的同理计算即可，这里用x³+bx²+cx+d=0来表示。

    这个很简单，新的方程三根的和就是-kb，再看下一项，拿出两个根，由于每个根都是原来的k倍，那么就变成为k²c了，同理拿出来三个根乘积再求和就是-k³d了，因此新的方程就是

y³+kby²+k²cy+k³d=0

该方程的三个根是x³+bx²+cx+d=0三个根的k倍

◇◆◇  2.对称根变换

    所谓对称根，就是求一个方程使其根为原方程根的对称乘积之和，还是以前面的三次方程为例，这里所求新方程的根为x1x2，x1x3，x2x3

    这样三根之和就是原来方程中的c，拿出两个根取积，再求和那么就变成

x1²x2x3+x2²x1x3+x3²x1x2=x1x2x3(x1+x2+x3)=bd

最后一项就好求了，三个根的积就变成了d²了，那么所求的新方程为

y³-cy²+bdy-d²=0

◇◆◇  3.幂根变换

    对于幂根变换，就是求一个方程，使其根是原方程根的k次幂，同样以三次方程

x³+bx²+cx+d=0为例，如果原方程的根是x1，x2，x3，那么所求方程的根就是x1^k，x2^k，x3^k，这个比较复杂了，这里就需要递推思想了，设

x1⁰+x2⁰+x3⁰=A0

x1+x2+x3=A1

…

x1^k+x2^k+x3^k=Ak

当然这里不考虑有根为0的情况，如果根是0，那么0次幂就没有意义了。

    这里有个神奇的结论，以前的文章也曾经提到过，就是

An+1+bAn+cAn-1+dAn-2=0

这个与方程的形式相一致，因为原方程就是前面的例子x³+bx²+cx+d=0

只是将x换成了A，这样拿出两个根求积再求和也方便了，就是根据2的对称根变换求出对称方程，然后再根据x换A 的方法，即可求出第二项，最后的根的乘积项很好求了，就是将原方程的d取n次幂即可。要注意的是必须事先求出前几项才能推算下一项。

    知道怎么算了吧？貌似有些迷茫，没关系，后面有例子，到时候就能明确了。

◇◆◇  4.倒根变换

    倒根，就是根的倒数了，这里也不考虑根为0的情况哦，同样是前面的例子，即原方程为x³+bx²+cx+d=0

那么倒数和是

通分后，化简得-c/d

    找两个根取积，然后求和就是

同理，通分化简，结果是b/d

    三个根的积就很简单了

直接是(-1/d)，那么，所求新方程为

y³+(c/d)y²+(b/d)x+(1/d)=0

    如果结合倒根变换与幂根变换，就能求出来次数是负的幂根变换了，要活学活用啊。此时你能想出幂是有理数的根变换么？

举例说明

    前些日子看到很正经的高考题，2020年全国高考全国卷三，21题（压轴大题），你能想象用初中知识来解么？那里出现的三次方程是x³-0.75x+C，今天就用它来做例子计算根变换的结果。

    有种方法是化简成三角函数算，若x=sint，那么

sin³t-0.75sint+C=0

sin(3t)=4C

很神奇吧，先不考虑怎么来的，为了举例子，针对C=1/(4√2)来算吧，因此可知

sin(3t)=√2/2

x1=sin15°=0.25(√6-√2)

x2=-sin75°=-0.25(√6+√2)

x3=sin45°=√2/2

    为啥是这仨数呢？告诉初中的你，正弦函数是周期的，对于高中同学这都不是问题吧？下面开始测试，我想将根变成原来的√2倍，那么

    再瞧瞧对称根的变换

       对于幂根变换，先求出其根是原来根的平方的方程，即

    太简单的次幂没有说服力，来个四次吧，所求方程的根是原来方程根的四次幂，设ak=x1^k+x2^k+x3^k，

那么有

设bk=(x1^k)(x2^k)+(x1^k)(x3^k)+(x2^k)(x3^k)，根据对称根方程

有

∴

    最后求一下倒根变换，该课题就圆满结束了，即