微分就是对函数的一个点及其邻域作研究，作近似
牛顿336、微分就是对函数的一个点及其邻域作研究，作近似
微分到底是个什么东西？——网友提问
…微、分、微分：见《牛顿321~335》…
“其产生的意义是什么？”网友补充说。
…意、义、意义：见《欧几里得26》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…
tetradecane（上海交通大学 工学硕士在读；编辑于 2019-11-03；66人赞同了该回答）：
1、微分是什么？
如下图所示：
斜、率、斜率：见《牛顿289》。
o：英文名Omicron（大写Ο，小写ο），中文音译：奥米克戎。是第十五个希腊字母。
小写ο用于：高阶无穷小函数。
…阶，无、穷、无穷，小，无穷小，高阶无穷小：见《牛顿280~282》…
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
微分就是对函数的一个点以及其邻域内的内容作研究，作近似。
…内、容、内容：见《欧几里得66》…
…研、究、研究：见《欧几里得42》…
如果近似得比较好，满足一定条件，就称为可微。
设有函数y=f（x），当x从x0开始，变化得非常微小，增加了△x的时候，我们尝试用线性函数（即这一点的切线），来近似y的变化。
…变、化、变化：见《伽利略10》…
（…《伽利略》：小说名…）
…△：读音是“德尔塔”。音标为/deltə/。
在物理学中，△常常作为变量的前缀使用，表示该变量的变化量，如：△t（时间变化量）、△T（温度变化量）、△X（位移变化量）、△v（速度变化量）等等…见《牛顿8》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…切、线、切线：见《牛顿288》…
近似为y增加了k△X。
实际上y 增加了△y=k△X+E，误差是E。
有些性质比较好的函数，E=o（△X）是△X的高阶无穷小，即lim（△X→0） o（△X）/△X=0，我们就称y=f（x）在x=x0可微。
…性、质、性质：见《欧几里得37》…
…lim：limit…
[…limit（英文）：n.限度；限制；极限；限量；限额；（地区或地方的）境界，界限，范围
v.限制；限定；限量；减量…]
可以做一个简单的变形：
…简、单、简单：见《伽利略13》…
△y/△X=k+o（△X）/△X，lim（△X→0）△y/△X=f’（x0）=k
也就是说，一点可微，可推出该点可导，而且比例系数k 恰好就是该点的导数。
…比、例、比例：见《欧几里得29》…
…系、数、系数：见《牛顿2》…
…导、数、导数：见《牛顿288~294》…
对于一元函数而言，一点可导也能推出该点可微，把上面过程逆过来即可。
注：在自变量的同一变化过程x→x0（x→∞）中，函数f（x）具有极限A的充分必要条件是f（x）=A+α，其中α是无穷小（证明见《牛顿309》）
2、为什么要线性近似？
线性情况是最简单的情况，化曲为直，我们就可以轻松计算出其斜率、线下面积等等。
…计、算、计算：见《欧几里得157》…
求斜率就是求导，求线下面积就是积分。
数学处处都是这种化归的思想。
…思、想、思想：见《欧几里得154》…
另外提一下微积分的意义：初等数学到高等数学的台阶就是微积分。微积分使问题变难为易，变不可能为可能。
初等数学，求面积，只能求正方形啊、矩形啊、三角形啊等等这种直边图形的面积，至多带一个圆（其实圆面积公式，严格意义上来说，要用微积分才能推导出来）。
…公：见《欧几里得1》…
…式、公式：见《欧几里得132》…
…严、格、严格：见《欧几里得125》…
…推、导、推导：见《欧几里得7》…
有了微积分，只要给出函数，随便什么线下面积我都可以算出来了（当然有的不能解析表达，但是至少我可以用积分进行数值计算，能达到任意精度）。
数学工具运用到物理上，初等数学只能解决类似匀速直线的有规律的运动，微积分就能通过任何v-t函数算出s-t函数。
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
…工、具、工具：见《欧几里得161、162》…
…运、用、运用：见《伽利略29》…
…物、理、物理：见《欧几里得139》…
…规、律、规律：见《欧几里得43》…
…运、动、运动：见《伽利略9》…
其它理工科方面也是类似。所以微积分使数学瞬间增大了应用范围，使数学向前迈进了一大步。
…应、用、应用：见《欧几里得181》…
…范、围、范围：见《欧几里得39》…
6条评论：
2021-07-05，BackTech：感谢大佬！
2020-09-01，yuj：太牛逼了！通俗易懂简直！
2020-03-31，地震：妙啊！果断收藏了！
2020-02-15，风过太平洋：“领域”这个词用的好，近似应该写成线性近似，更为准确的表达了这个微分的意义。
2019-11-03，今天长到一米六五了吗：终于看到一个回答是我能轻易看懂并理解的了[痛哭表情]
2019-10-29，大碗宽面：感谢大佬
“∑符号表示求和，∑读音为sigma，英文意思为Sum，Summation，就是和。
请看下集《牛顿337、∑上下标是什么意思？》”
若不知晓历史，便看不清未来
欢迎关注哔哩号“中国崛起呀”
