拉格朗日中值定理发展简史

牛顿389、拉格朗日中值定理发展简史

 

拉格朗日中值定理（百度百科）：…

…定、理、定理：见《欧几里得2》…

（…《欧几里得》：小说名…）

…拉格朗日中值定理：见《牛顿376~388》…

发展简史

 

人们对拉格朗日中值定理的认识可以上溯（sù）到公元前古希腊时代。

…认、识、认识：见《欧几里得51》…

…溯：见《欧几里得42》…

 

古希腊数学家在几何研究中得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”。这正是拉格朗日定理的特殊情况，古希腊数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论，求出抛物弓形的面积。

…数、学、数学：见《欧几里得49》…

…家：掌握某种专门学识或从事某种专门活动的人：专～。画～。政治～。科学～。艺术～。社会活动～…见《欧几里得92》…

…几、何、几何：见《欧几里得28》…

…研、究、研究：见《欧几里得42》…

…结、论、结论：见《欧几里得66》…

…切、线、切线：见《牛顿288》…

…结、论、结论：见《欧几里得66》…

意大利卡瓦列里在《不可分量几何学》（1635年）的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理，其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦。

…卡瓦列里（Cavalieri，Francesco Bonaventura 1598～1647）：意大利数学家，积分学先驱者之一…

…观、点、观点：见《欧几里得50、51》…

…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…

 

这是几何形式的微分中值定理，被人们称为卡瓦列里定理。

…形、式、形式：见《欧几里得13》…

 

该定理是拉格朗日中值定理在几何学中的表达形式。

…表、达、表达：见《伽利略40》…

（…《伽利略》：小说名…）

 

1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中首先给出了拉格朗日定理。

…解、析、解析：见《欧几里得36》…

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

 

他给出的定理的最初形式是：“函数f（x）在x与x0之间连续，f’（x）在x与x0之间有最小值A与最大值B，则[f（b）-f（a）]/（b-a）必取A与B之间的一个值。”

…连、续、连续：见《欧几里得44》…

 

拉格朗日给出最初的证明，但证明并不严格，他给的条件比现在的条件要强，他要求函数在闭区间上具有连续导数，并且他所用的连续也是直观的，而不是抽象的。

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

…严、格、严格：见《欧几里得125》…

…导、数、导数：见《牛顿288~294》…

…直观：见《牛顿220》…

…抽、象、抽象：见《欧几里得20、21》…

 

十九世纪初，在微积分严格化运动中，柯西给出了拉格朗日中值定理的严格证明。

…化：后缀。加在名词或形容词之后构成动词，表示转变成某种性质或状态：绿～。美～。恶～。电气～。机械～。水利～…见《欧几里得2》…

…运、动、运动：见《伽利略9》…

 

在《无穷小计算教程概论》中，柯西证明了“如果导数f’（x）在闭区间[a，b]上连续，则必存在一点ξ，使得f’（ξ）=[f（b）-f（a）]/（b-a）。”

…无、穷、无穷，小，无穷小：见《牛顿280》…

…计、算、计算：见《欧几里得157》…

…ξ：大写Ξ，小写ξ，是第14个希腊字母，中文音译：克西。

小写ξ用于：数学上的随机变量…

 

柯西又在《微分计算教程》中将拉格朗日中值定理推广为柯西中值定理。

…微、分、微分：见《牛顿321~336》…

 

现代形式的拉格朗日中值定理是由法国数学家博（O.Bonnet）给出的，他不是利用导数的连续性，而是利用罗尔定理对拉格朗日中值定理进行了重新证明。

…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…

…罗尔定理：见《牛顿367~375》“罗尔中值定理”…

 

 

意义

…意、义、意义：见《欧几里得26》…

 

拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广，它是微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。

…应、用、应用：见《欧几里得181》…

…理、论、理论：见《欧几里得5》…

…实、际、实际：见《伽利略28》…

…研、究、研究：见《欧几里得42》…

…价、值、价值：见《欧几里得92》…

 

几何意义

 

若连续曲线y=f（x）在A[a，f（a）]，B[b，f（b）]两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线，则曲线在A，B间至少存在1点P[ξ，f（ξ）]，使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。

 

运动学意义

 

对于曲线运动，在任意一个运动过程中，至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。

…过、程、过程：见《欧几里得194》…

…速、率、速率：见《牛顿8》…

拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。

…理、论、理论：见《欧几里得5》…
…系、统、系统：见《欧几里得37》…

 

可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。

 

从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。

…工、具、工具：见《欧几里得161、162》…

 

“拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。

请看下集《牛顿390、柯西中值定理》”

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