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[翻译]锥线几何(Geometry of Conics)第一章:二次曲线的诸基本性质1.5

2023-08-18 11:09 作者:瀰㴉夃  | 我要投稿

本文译自A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, trans. Alex Martsinkovsky, Geometry of Conics, American Mathematical Society, 2007.

翻译:野吕侯奈因

仅供学习交流使用

译者按:

       本书在几何爱好者之间小有人气,但目前网上只能找到一些零散的翻译.鉴于目前通行的数学教学中对于二次曲线问题的处理方式过于单一,希望能借翻译本书的机会来推广一下二次曲线的射影几何视角.

1.5. 作为圆的投影存在的二次曲线

       给定一个圆,作出一条过其圆心并垂直于该圆所在平面的直线并于其上取一点S.那么连接S与圆周上的所有点就会构成一个圆锥.考虑一个以不与轴线垂直的平面%5Cpi截圆锥的截面其与母线的全部交点.

       接下来作出该圆锥的两个内切球其切%5Cpi于点F_1F_2(图1.20).

图1.20

X为圆锥面与平面%5Cpi的相交部分上任意一点,母线SX交两内切球于点Y_1Y_2.则有XF_1%3DXY_1XF_2%3DXY_2,由于从球外一点引球的两条切线长度相等,有XF_1%2BXF_2%3DY_1Y_2.其中Y_1Y_2为圆锥中垂直于轴线的两平面截母线所得线段,其长度不因X的选取而改变.因此圆锥面与%5Cpi的相交部分即为椭圆.而两半轴间的比值由平面的倾斜程度决定并且显然可以取任意值.故任何椭圆都可以用圆的投影作出.

       可以相似地证明一个平行于圆锥的两母线的割面,其截圆锥面所得图形为双曲线(图1.21).

图1.21

       最后,考虑当割面只平行于一条母线的情况(图1.22).

图1.22

       设圆锥的内切球切%5Cpi于点F,该球切圆锥于平面%5Csigma上的一圆,而l为平面%5Cpi%5Csigma的交线.对于圆锥面与平面%5Cpi的相交部分上任意一点X,设Y为母线SX与平面%5Csigma的交点,ZXl上的投影,于是由切线长定理就有XF%3DXY.另外,YZ都落在%5Csigma上,XY%5Csigma的夹角等于%5Cpi%5Csigma的夹角,而与%5Cpi的选取无关.而由两线段与%5Csigma间成角相等,有XY%3DXZ.故有XF%3DXZ,即X落在一条以F为焦点,l为准线的抛物线上.

       于是所有非退化的二次曲线都可以用圆锥的截面作出,因此,这些曲线也被称做圆锥截面线(conic section)圆锥曲线(conic)

       我们注意到若将圆锥换成一个圆柱,经由同样步骤得到的截面就会变成椭圆.故椭圆也可以由圆的平行投影作出.

练习1. 试求椭圆中平行于某一方向的弦其中点轨迹.


解答. 考虑一个由平行投影作出的椭圆.则椭圆中平行弦中点就会对应于圆中平行弦中点,而后者会落在圆的直径上,故椭圆中弦中点的轨迹也会落在其直径上(即过其中心的弦).

练习2. 如何用直尺和圆规作出给定椭圆的两焦点.


解答. 首先作出椭圆中两平行弦.由上一题的结论,其中点所连直线为椭圆直径.再作出另一直径,便可以确定椭圆中心O.由椭圆的对称性,以O为圆心作适当直径的圆,会交椭圆于构成分别与椭圆的两轴平行的矩形的四点.故可以作出一以短轴的一端点为圆心,半长轴长为半径的圆,而其与长轴交点即为焦点.

       像这样在圆锥中与割面相切的内接球被称作丹迪林双球(Dandelin spheres)

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