很水的数学分析122：连通空间

#练习生打卡

一、紧致性收尾

1.定理2.39：紧致的度量空间是完备的。

一个定理把紧致性、列紧性、完备性，以及把紧集套联系在了一起，相当于把七大定理中去除三个涉及序关系的定理，剩下的四大定理全部囊括进来。

证明：从X中任取一个Cauchy列。一方面，按类似上极限第三定义的思路依次取集合，就构成了集套，每个集合取闭包，则构成闭集套，由于在紧致空间中，因此构成紧集套，由紧集套定理知无穷交等于单点集。另一方面，Cauchy列推得diamEn→0，由命题2.20（diamE=diamĒ）知diamĒ→0。于是可知，d(xn,ξ)→0，即xn→ξ，这表明X完备。

2.完善上一讲，连续映射在IRⁿ或度量空间的推广。

3.紧致性的思维导图。包含紧致性定义、性质，度量空间（IRⁿ）上三角关系，紧集套定理，紧集上的连续映射。

二、开启连通性

1.我觉得人们日常是把“连续性”和“连通性”相混淆的。连续性是针对映射说的（可能是局部，可能是整体），连通性是针对集合说的，“连成一片”。

2.连通集定义。

①定义一：拓扑空间X。若对X的任意划分，两集合都是开集，则X不是连通的。

（ⅰ）连通性可以只用开集定义，因此是拓扑不变量。

（ⅱ）证连通性常用反证法。

②定义二：拓扑空间X连通⇔X的既开又闭的子集只有X和∅。

③定义三：拓扑空间X连通⇔X的任意划分｛U，V｝满足U∩V的闭包≠∅ 或 U的闭包∩V≠∅ 

3.连通性定义的例题。

平凡拓扑空间是连通的，有理数集不是连通的。

（这两点是用定义一证）