看不懂的高等代数（六）

2023-04-12 23:46 作者:不能吃的大鱼 0人读过 | 我要投稿

呦吼！又和大家见面啦！

主要是这个学期实在是比较忙（懒），专栏也没啥更新的动力……所以就很容易摆烂（）

现在想来还是要多写一些，让自己的大脑活动起来，不至于太过于混沌，一旦知识需要应用就能够调动出来~

我们上一篇已经讲完了行列式的全部内容，那么现在我们就要看一看，行列式到底能有什么用。因此，我们要先来介绍一个对于代数学而言比较重要的概念——n维向量空间。

Chapter Three n维向量空间 $K%5En$

3.1 n维向量空间 $K%5En$ 及其子空间

回忆一下我们在数学分析部分介绍的多元函数的基本集合概念部分。我们在那时介绍了有关n维Euclid空间当中的点与向量的概念，并且解释说，在n维Euclid空间当中，点与向量其实是一对等价的概念，只是描述角度与观点不同罢了。在必要的时候，二者之间可以互相灵活转换。

而对于n维Euclid空间而言，其构建是n个实数集进行直积的结果。我们现在对其进行推广与扩充，考虑更为一般的数域K（可大可小，大到复数域C，小到有理数域Q），并将n个数域K进行直积，得到了一个关于K的n维空间。这一空间的基本架构与n维Euclid空间一样，其基本元素也为“点”或“向量”，故我们一般称之为n维向量空间，记作 $K%5En$ 。

在这一意义上，n维Euclid空间是一个特殊的n维向量空间。

任何n维向量空间都应该满足基本的加法与数乘运算规律，即线性性质。

不过，与我们在分析学所介绍的略有不同。我们在分析学当中所介绍的向量概念是不分行列的，即在写法上，我们一般都写作横向的，而不会认同竖向的写法。但是，在代数学当中，多数时候我们提到向量，反而是竖向的写法（称为列向量），而将横向的写法（行向量）看做是列向量的转置。

利用向量的表法与概念，我们可以将线性方程组写作：

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20x_i%5Cboldsymbol%20%5Calpha_i%3D%5Cboldsymbol%20%5Cbeta$

其中，有：

$%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20%3D(a_1%2Ca_2%2C%5Ccdots%20%2Ca_n)%5ET%EF%BC%8C%5Cboldsymbol%20%5Cbeta%20%3D(b_1%2Cb_2%2C%5Ccdots%20%2Cb_n)%5ET$

我们称等号左侧只通过向量的加法与数乘运算组合到一起的方式称为向量的线性组合，称 $x_i$ 为组合系数，简称为系数。

上述方程组有解，就说明至少存在一组系数，使得常向量组 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Calpha_i%5C%7D$ 能够组合成等号右侧的常向量。此时，我们就称向量 $%5Cboldsymbol%20%5Cbeta$ 能够被向量组 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Calpha_i%5C%7D$ 线性表出。

通过这样的处理，我们就将方程组是否有解的问题，转换为了向量之间的线性表出的问题。

一个很直接的想法是，既然我们想要研究向量 $%5Cboldsymbol%20%5Cbeta$ 是否能被向量组 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Calpha_i%5C%7D$ 线性表出，那么我们就将所有的线性组合找出，构成一个集合：

$U%3D%5C%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ek%20c_i%20%5Cboldsymbol%20%5Calpha_i%7Cc_i%5Cin%20K%2Ci%3D1%2C2%2C%5Ccdots%20%2Cn%5C%7D$

只要我们能研究清楚这一集合的结构与性质，我们就能将这一问题解决。

（最直接地，只要看我们想要寻找的向量是否在这一集合内即可。）

显然，这一集合是对加法与数乘运算是封闭的。（命题1）因此，可以看到，这其实也是一个空间。而由于 $U%5Cin%20K%5En$ ，于是我们称之为 $K%5En$ 的线性子空间，简称为子空间。

我们知道，对于n维Euclid空间而言，所有向量都可以被向量组 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Cvarepsilon_i%5C%7D$ 线性表出；同时，该向量组内的任意向量都不能被组内的其他向量线性表出。

（ $%5Cboldsymbol%20%5Cvarepsilon_i%3D(0%2C0%2C%5Ccdots%20%2C1%2C%5Ccdots%200)$ ，第i个分量为1，其他分量为0）

我们称这样的向量组为该空间的基向量组，简称为基向量或者基。

显然， $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Calpha_i%5C%7D$ 满足了作为子空间U的基的必要条件。当然，我们还不清楚，该向量组内的向量之间的表出关系，因此无法给出“一定是基向量组”这一结论。不过，至少我们可以说，子空间U是由该向量组生成的，其中的所有向量是由该组向量所组合成的。此时，称U为由该向量组生成的（或张成的）子空间，记作：

$U%3D%3C%5Cboldsymbol%20%5Calpha_1%2C%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_2%2C%5Ccdots%20%2C%5Cboldsymbol%20%5Calpha_k%3E$

更一般地，我们也可以称对于任意的n个向量而言，空间：

$U%3D%3C%5Cboldsymbol%20%5Calpha_1%2C%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_2%2C%5Ccdots%20%2C%5Cboldsymbol%20%5Calpha_n%3E$

是由这n个向量生成的空间。

于是，线性方程组有解就等价于 $%5Cboldsymbol%20%5Cbeta%20%5Cin%20U$ 。

Chapter Three n维向量空间 $K%5En$

3.2 线性相关与线性无关的向量组

现在，我们希望研究出对于任意的n维向量空间而言，具有这样类似 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Cvarepsilon_i%5C%7D$ 的特性的向量组是否都存在？如果存在，是否唯一？如果不唯一，那么最基本的充分必要条件是什么？

（必要条件：如果所有向量都能被该向量组线性表出，那么该向量组应该满足的条件；）

（充分条件：满足该条件即可将空间中的所有向量都线性表出。）

既然想要仔细研究这一点，我们就要从根本上来看，也就是说我们要研究一下线性组合与线性表出本身。

按照我们刚刚所讨论的那样，所谓线性表出，不过是说：

$%5Cexists%20%5C%7Bc_i%5C%7D%5Csubset%20K%EF%BC%8C%5Cboldsymbol%20%5Cbeta%20%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c_i%5Cboldsymbol%20%20%20%5Calpha%20_i$

也即：

$%5Cexists%20%5C%7Bc_i%5C%7D%5Csubset%20K%EF%BC%8C%5Cboldsymbol%20%5Cbeta%20-%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c_i%5Cboldsymbol%20%20%20%5Calpha%20_i%3D%5Cboldsymbol%200$

并且，至少向量 $%5Cboldsymbol%20%5Cbeta%20$ 的组合系数是不为0的。如果我们将 $%5Cboldsymbol%20%5Cbeta%20$ 加入向量组 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_i%5C%7D$ （并记为 $%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_%7Bn%2B1%7D$ ），那么我们就能得到：

$%5Cexists%20%5C%7Bc_i%5C%7D%5Csubset%20K%EF%BC%8C%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%2B1%7D%20c_i%5Cboldsymbol%20%20%20%5Calpha%20_i%3D%5Cboldsymbol%200%5Cquad%20%5Cbigg(%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%2B1%7D%20c_i%5E2%E2%89%A00%5Cbigg)$

此时，我们称向量组线性相关。反之，如果该式成立当且仅当：

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%2B1%7D%20c_i%5E2%3D0$

则称向量组线性无关。

如果某一向量组线性相关，则至少有组中的一个向量能够被其他向量线性表出。

回过头来我们再看，n维Euclid空间的一组基正好满足了线性无关的条件。这就是说，某一向量组作为某一空间的基的必要条件为其线性无关。

至于充分条件为何，我们暂不讨论，留待下节研究。

我们先就目前的结果，来向大家揭示行列式的第一个作用——判断向量组的线性相关性。

我们知道，如果向量组 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_i%5C%7D$ 线性相关，那么就有：

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c_i%5Cboldsymbol%20%20%20%5Calpha%20_i%3D%5Cboldsymbol%200$

此时，方程组：

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20x_i%5Cboldsymbol%20%20%20%5Calpha%20_i%3D%5Cboldsymbol%20%5Cbeta$

的解的情况分为两种：

（1）无解；

（2）有无穷多组解。

当 $%5Cboldsymbol%20%5Cbeta%20%3D%5Cboldsymbol%200$ 时，此时该齐次方程组的解的情况只有第二种可能，此时有行列式：

$%7C%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_1%20%2C%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_2%2C%5Ccdots%20%2C%5Cboldsymbol%20%5Calpha_n%7C%3D0$

根据互斥原理，由于线性无关与线性相关互斥，行列式为0与不为0互斥，则我们能够得到：

（1）向量组 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_i%5C%7D$ 线性相关当且仅当：

$%7C%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_1%20%2C%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_2%2C%5Ccdots%20%2C%5Cboldsymbol%20%5Calpha_n%7C%3D0$

（2）向量组 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_i%5C%7D$ 线性无关当且仅当：

$%7C%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_1%20%2C%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_2%2C%5Ccdots%20%2C%5Cboldsymbol%20%5Calpha_n%7C%E2%89%A00$

（这其实是一个很简单的原理，大家可以通过反证法简单证明。）

于是我们就得到了判断一个n元向量组的线性相关性的行列式判据。

思考：

证明命题1；
证明：任意n-1维Euclid空间都是n维Euclid空间的子空间，从而任意k维（k≤n）Euclid空间都是n为Euclid空间的子空间；
写出一个二维平面的非 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Cvarepsilon_i%5C%7D$ 基，并证明这是一个基；
证明：线性相关的向量组的局部组也相关；

（局部组是指向量组去掉相同位置的某几个分量所构成的向量组）
证明：线性无关的向量组的延伸组也无关；

（延伸组是指向量组加上某几个相同位置的分量所构成的向量组）
证明：向量 $%5Cboldsymbol%20%5Cbeta%20$ 由向量组 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_i%5C%7D$ 线性表出的方式唯一的充分必要条件为向量组 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_i%5C%7D$ 线性无关；
证明替换定理：

设向量组 $%5C%7B%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_i%5C%7D$ 线性无关，且：

$%5Cboldsymbol%20%5Cbeta%20%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c_i%5Cboldsymbol%20%20%20%5Calpha%20_i%5Cquad%20(c_k%E2%89%A00)$

则用向量 $%5Cboldsymbol%20%5Cbeta%20$ 替换向量 $%5Cboldsymbol%20%5Calpha%20_k$ 后得到的向量组也线性无关。