别让因式分解成为“鞋里的沙子”（2020课标Ⅰ导数）

（2020课标Ⅰ，21）已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当，，求的取值范围.

解：（1）当时，

，

，

易知，

且注意到，所以

当，，；

当，，

（2）

即，

当时，上式显然成立；

当时，上式等价于

.

令，则

令，则

所以，

所以，

即，

即.

令，得，

当，，；

当，，

故，

所以.

命题背景：