2023数分每日一题学习感悟-Day54（幂级数：求收敛域与和函数二）

一、华东理工

总体感觉：不难，基础题

观察：这个幂级数，有-1次方，可以考虑放到分母上，这个-1次方不管，让前面的系数记作an。

思路：1、先求收敛半径得到收敛区间

2、考虑端点，得出收敛域

本题特点：

1、利用根式法，所以求n次方根，利用迫敛性。

2、端点考察时充分利用调和级数的发散以及Leibniz判别法来证收敛。

注：调和级数指的是：所有正整数的倒数一次相加形成的级数

二、太原理工

思路：主要是换元，从整体考虑

做法：

1、用根式法求收敛半径，注意换元换为t

2、考虑端点，得到收敛域，记得还原t为x，得到x的范围，解的时候小心，不要算错

3、最后求和函数，逐项微分即可，注意这里利用到了Newton-Leibniz公式变形，有∫[0,t]g'(u)du＝g(t)-g(0)，所以这个g(0)是不能少的，尽管在大部分题里g(0)是0.最后t用x代即可，注意最后收敛域的范围不要漏写。

三、中国科学技术大学

特点：本质不难，但新

做法：分为实数域和复数域，

1、先研究清楚实数域，方法同上，先用根式判别法求出收敛半径，后考虑端点得出收敛域。

2、再考虑复数域，也分为2种情况，

首先，收敛区间（-1，1）内肯定收敛而且绝对收敛；

接着，对模长为却不等于-1的情况考察。

令x=e^iθ,θ∈(-π,π).

必须要说明的要点：

①说明这样设x原因：因为||x||＝1，x又是复数，设x＝a+bi，要求√(a²+b²)＝1，所以可以设x＝cosθ+isinθ，又x≠-1，也就是θ不能＝π和-π。

②棣莫弗公式及相关知识补充：

||e^(iθ)||=1,

e^(iπ)=e^(-iπ)=-1,

e^iθ＝cosθ+isinθ,于是e^inθ＝cosnθ+isinnθ

3、利用Dircichlet判别法，知道cosnθ与sinnθ的部分和有界，得出其收敛。（借此复习Dirichlet判别法以及sinx、cosx的部分和有界）