用辨证思维解绝对值不等式

       近来进行期末复习,讲到含绝对值的不等式,基本形式为

       |x|>a(a>0)和|x|<a(a>0),解这类不等式的关键是去掉绝对值符号,我们可以利用绝对值的概念进行分类讨论来去掉绝对值符号,也可以利用绝对值的几何意义来处理.于是有

       |x|>a(a>0)的解集为{x|x<-a或x>a};

       |x|<a(a>0)的解集为{x|-a<x<a}.

       那么对不等式|ax+b|>c(c>0)或|ax+b|<c(c>0)若利用整体代换,也可视为基本形式,因为整体和个体在哲学上可以视为一个相对的概念,应该可以相互转化,于是又有

       |ax+b|>c(c>0)可以转化为ax+b<-c或ax+b>c,

       |ax+b|<c(c>0)可以转化为-c<ax+b<c,

       这样它们就都成了一元一次不等式,可以很快解决.

       这里运用了整体与个体的辨证思维.

       进而有不等式|ax+b|>cx+d,我们该怎样处理呢?我们知道,在数学中,变量与常量也是可以相互转化的,我们视cx+d为常量,即把cx+d像上面的c一样来对待,也应该是可行的,于是也有

  |ax+b|>cx+d可变为ax+b<-(cx+d)或ax+b>cx+d,这样它也变成了一次不等式,容易获解.这里就用到了常量与变量的辨证思维.

       那么对不等式|ax+b|>|cx+d|,我们当然也可以运用同样的思维方式来解决.

       明显地可以看到,运用辨证思维的好处是,我们不需要分类讨论了,减少了许多烦琐的过程.请大家不妨先用常规的方法做一下,在运用上述观点来做一下,对比一下,也体验一下,就可以知道其中的差异!

(2007-01-18 16:26:50)