很水的数学分析002：戴德金分割

（-----上接自己的数学分析001视频笔记----）

6.实数集上的运算

加法：

由于当前实数是由集合定义的，本身没有集合加集合这样的运算。

我们可以任取两个集合中的元素，这两个元素相加（这两个元素应位于有理数域），其相加结果的值构成的新集合，这就是加法运算。【具体算术化语言定义详见讲义】

可以证明这样的加法是良定义的。

定义了加法后，加法满足运算律：①加法结合律、②加法交换律、③加法零元、④加法负元。

加法零元和加法负元的证明注意构造零元、负元的下集的方法。其中负元的构造体现了数学分析的思想，构造一个极小值ε，是目标刚好越过某个临界点。【证明见讲义】

此外，加法有保序性。

实数集上乘法运算同加法。

注意乘法运算的定义，由于研究的对象是下集，所以可以使用先解决＞0的情况，再对＜0等情况作特殊处理的思想。

此外，运算律中乘法负元的证明也体现了和加法负元同样的思想，先构造集合，再构造某个极小值（乘以某个小于1的数），使达到目标范围。

7.通过戴德金分割定义的实数集中，可以找到一个真子集，与原先定义的有理数集同构。

由于证明了两者同构，实数集中的零元和单位元可以借用实数集直接记作 0 和 1。