很水的数学分析116：连续映射

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上节课收尾：

1.向量值函数。把f：D→Rᵐ看作向量，称fi为分量函数。

①典型代表：线性映射。

②从范数不等式推得：

（ⅰ）向量值函数收敛于l当且仅当fi收敛于l的分量。

（ⅱ）上节课已说明f在x₀连续⇎f各分量都在x₀连续。

本节主题：

拓扑学的一个基础概念：连续映射。

1.连续映射的概念。

2.连续映射的4个等价命题。

①分别对应4种拓扑公理。

②证明。1°和4°的等价性之前已证过，现在只需证明1°⇨2°⇨3°⇨1°

证明过程略。其中涉及到映射和集合论的两个结论：

（ⅰ）等号两边同时做f/f⁻¹，等号变成⊆/⊇，当且仅当满射/单射才维持等号。

（ⅱ）f⁻¹(X\A)=f⁻¹(X)\f⁻¹(A)

f(X\A)⊇f(X)\f(A)（等号成立当且仅当f满射）

3.常见的连续映射：

①常值映射。

②包含映射。X的一个子集映射到X的一个恒等映射。

③复合映射。

④限制映射。f｜ᴬ：A→Y可看作某包含映射（符号打不出）与f：X→Y的复合映射。

⑤限制陪域。特殊的复合映射。

⑥扩大陪域。依然可以看作某映射和某包含映射的复合映射。