利用三角函数探究三角形的边角关系

由于本人只是一名初中生，这篇论文里不可避免会出现一些错误之处，希望大家能够指正。 这一篇是我本人在2019年3月中旬参加全国中学生数理化学科能力展示活动的复赛写成的。

一．摘要

本文运用了方程思想，利用勾股定理，三角函数，余弦定理，运用从特殊到一般的探索过程，探究三角形的边角关系，并运用到生活中，解决实际问题。

二．关键词

三角形      三角形的稳定性     垂线      三角函数     勾股定理       余弦定理     三角形全等

三． 正文

（一）问题的提出

三角形是生活中常见的抽象图形，今天我选了一个非常实用的问题，用三角函数探究三角形的边角关系并加以运用。

学习了三角形的稳定性之后，我想到，如果确定了三角形的三条边 ，那么这个三角形的形状和大小就确定了，掌握了三角形的SAS全等判定之后，我想到,一个三角形两边及其夹角确定了，三角形的形状和大小也就确定了。由此，我提出一个猜想，三角形的边的长度会影响角的大小，角的大小会影响三角形的边的长度。但是，三角形到底有怎样的边角关系呢？今天，我就为大家展示一下我探究三角形的边角关系的过程。

(二) 特殊情况下的三角形边角关系

研究特殊情况下的三角形边角关系，分锐角三角形，直角三角形，钝角三角形进行举例

1. 锐角三角形

A:不等边三角形

  B：等边三角形

2．直角三角形

3.钝角三角形 

这到底是不是巧合呢？于是，我大胆猜想：在每个三角形中，都存在以下边角关系：cosB=

，并进行验证。

（三）建造模型

分锐角三角形，直角三角形，钝角三角形进行分类讨论：

（1） 因素设定：∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c

（2） 求解：

1.  锐角三角形

（四）总结

综上所述，在任一三角形中，都存在以下边角关系:

这就是三角形的余弦定理。

（五）余弦定理应用举例

在学习生活中，余弦定理有许多应用：

1.   在学习中应用：

①判断一个三角形的形状

②已知三角形三边，求三角形的大小

   由三角形“SSS”全等判定定理可得，知道了一个三角形的三边之长，就可以确定一个三角形，也可以利用余弦定理求出三个角的余弦值，得出三个角的大小。

③已知三角形两边长度及其夹角的大小

   由三角形“SAS”全等判定可得知道一个三角形的两边长度及其夹角大小，就可以确定一个三角形，使用余弦定理求出另一条边的长度和另外两个角的大小。

2.在生活中的运用

①航海问题：

利用余弦定理可以快速求出边长及角的大小，从而求得航行长度与方位角的大小。

②求三角形零件边长，角的大小及面积：

利用余弦定理可以求出三角形的各个角的余弦值，从而得到高线的长度及每个角的大小，轻而易举地求出三角形的面积，为制造零件、指示牌提供便利。

③除此之外，余弦定理还有许多在生活中的应用。

正可谓：数学来源于生活，也服务于生活。

四．结论

1. 在任一三角形中，都存在以下边角关系:

1.    在学习生活中，三角形余弦定理有许多应用。

五.参考文献

余弦定理：百度百科https://baike.baidu.com/item/余弦定理/957460?fr=aladdin

六.结语

三角形是一个在生活中非常重要与常见的图形，余弦定理是三角形中一个重要的定理，而数学建模可以令人们更好地了解并运用它。数学来源于生活，服务于生活，也高于生活。

培根曾说过：“数学是通向科学大门的钥匙。”让数学融入我们的生活，为我们做出更大的贡献。

在这次建模论文写作过程中，我感受到了数学的无穷魅力,学到了许多新知识，获得了很多经验。希望这篇建模论文可以帮助到一些有需求的人。

七．致谢：

在这次建模论文写作过程中，我得到了许多人的支持与鼓励。

在此，我要感谢一直支持与鼓励，帮助我的武老师，我的父母，帮助打成一大部分电子稿的张铭欣，以及所有帮助过我的人。