很水的数学分析080：一致收敛判别法

Weierstrass判别法→构造处处连续、处处不可导的函数

Dirichlet判别法→（傅里叶级数）Dirichlet收敛定理

Abel判别法→（幂级数）Abel第二定理

一、Cauchy判别法【适用范围广、不好用】

1.注意不同的“一致”里，要求“一致”的是什么东西。

2.函数的一致连续跟函数的Cauchy收敛只是形式相似，没有实质关系；

但函数列的一致收敛跟函数列的Cauchy收敛是【等价命题】。（因为函数列的Cauchy收敛条件是要求对任一x∈I，不等式成立）

3.Cauchy收敛的意义：当不知道极限值/极限函数时，仍然能判断数列/函数/函数列是否收敛。

4.容易推得函数项级数的Cauchy收敛原理（必要性证过很多遍，充分性通过fn(x)逐点收敛得知当m→∞时fm(x)→f(x)就可以推得），从而可推出函数项级数在I上一致收敛的必要条件，即fn(x)在I上一致收敛于0。

二、Weierstrass判别法（优级数判别法）

1.把数项级数的Cauchy收敛原理转化为函数项级数的Cauchy收敛原理。

2.条件非常强。不仅函数项级数一致收敛，而且它的绝对值级数也一致收敛，才可能用Weierstrass判别法。

【适用范围窄，但好用】

三、绝对收敛和一致收敛互相独立。

四、从数项级数中很容易推演出函数项级数的Dirichlet判别法、Abel判别法。

（证明用到Cauchy收敛原理、Abel引理、一致收敛定义、一致有界定义、三角不等式）