数学中研究不变量的动机是什么

拿面积体积来回答这个问题像是在查字典告诉你某个生词的意思。我想题主需要的是思维过程的展现。而且我相应他已经知道了埃尔朗根纲领--即以几何研究的是群作用下的不变量的纲领来研究几何。而其他的一切搞不变量的想法都是在套用和推广这句话。然后怎么推广的对这个问题不细答出来的话给人的感觉也是不够的。

1.刚体变换群的不变量--欧式几何不变量

《旋转，平移》的混合作用下几何体的保持不变的性质是不变量，这里有距离，面积，体积。不言自明。

2.共形变换群下的不变量--欧式几何不变量

《旋转，平移，放缩》生成的群，比上述群大。它不再保持长度面积体积。这个群由于丘成桐开创的《共性计算几何》变得越来越重要。做人工智能算法的人会告诉你这个群作用在人脸上的不变量叫做人脸特征，什么是人脸特征--三庭五眼均匀与否等任何算命的人需要的信息。点共线线共点，四个点的共圆性，三个点的夹角，共线的点的交比，线段的比例等等都是这个群作用下的不变量。

回顾二次型的变换f(x,y,z)=0会被共形群变出惯性指数（二次型的终极不变量）来。

3，射影变换群下的不变量--射影几何不变量

《旋转，平移，放缩，莫比乌斯变换》生成的群。其特点是可以把一个十个系数的齐次的f(x,y,z)=0的三次和四次方程（四次要用上莫比乌斯变换）都给变成y^2=X^3+aX+b的形式，得到终极的j不变量。

其中莫比乌斯变换的几何意义是：用一点对某个空间曲线做投影，投射到某个平面上。这也是为什么四次曲线可以被投成XOY平面内的维尔斯特拉斯标准型的原因。因为亏个都是1.

这里已经引出了亏格为1的模空间的概念了。呼之欲出的是：亏格1模空间在射影等价下的维数是1维。不变量是1（维），给了我们不停地折腾各种换元的勇气和动力，因为我们相信最后可以换出只有一个未知系数的方程。（提问：哥德尔不完备性定理告诫我们不要瞎折腾，是不是因为某种变换的不变量已经注定了？）

这种变换破解了各种二次三次的丢番图方程。这让我们想到二阶三阶线性常微分方程会有简单形的分类结果也是因为变换群的作用，是哪个群呢？留待伏笔。

4.双有理不变量--射影几何的不变量

双有理变换对X=f(x,y),Y=g(x,y)首先逆过来也是双有理的，那它的变换群究竟是什么呢？双有理变换可以分解成基本的奇异点解消的变换吗？即X=xy；Y=y；这个问题不停问下去可能要把许晨阳激怒了。日本代数几何学家广中佑平做了奠基性的工作。平面多项式曲线定义的奇异点都被他解消了。这意味这某一些双有理变换=《奇异点解消的变换》生成的。然而《美丽心灵》的诺奖得主约翰纳什还总是想着拷问广中，随便给一个五元五次多项式=0，你能不能给我把奇异点解消出来。

我并没有听说过双有理变换群这个说法。它是否有生成元更加无法得知。只知道代数几何界，用同调求解射影簇的双有理不变量。而向量丛的陈类--这种不变量起到了本质性的作用。

5.非欧几何的不变量

考虑庞加莱圆盘模型或者上半平面，群作用用离散群---某个同余子群，问：在这个群作用下，哪些点是等价的，等价的点粘贴后成什么形状？--某种黎曼面。人们走向了模形式的研究，开启了数论的新篇章。你也可以考虑一些其他的非欧几何变换，不过内涵不是很大。

6.线性变换群（甚至某些李群）的不变量理论

给一个旋转群g=(cost,sint; -sint cost)，会发现有一个多项式x^2+y^2,在这个群作用下X=g.x,Y=g.y形式g.x^2+q.y^2,是不变的，X^2+Y^2=x^2+y^2.这种式子叫做群的不变式的话。这相当于在小范围研究某些多项式空间的几何。

群扩展到一些李群之后，它所属的不变多项式成了一个研究课题。与群表示论和李代数也挂钩了。

一元多次方程的判别式就是上述某种李群的不变量。我们想想，根的平移和旋转是不影响判别式的，因为判别式是一些距离之积。所以判别式一定是一个刚体变换李群的不变量。甚至放缩和剪切变换对判别式也只会带来一个标量的倍数变换而已。所以我们可以得出判别式是GL(n)的（差一个常数倍意义下）的不变量。

李群对称性用在PDE和ODE里面也能够指导方程的化简。我们还没谈到一些微分算子的不变量。

7.算子的不变量

e^x是求导的不变量。傅里叶变换的是高斯核。还有一些热核是某些特殊算子的不变量。

8.代数性和超越性不变量

e和pi的超越性不随着一些加减乘除改变。

9.积分的初等函数可表性和超越函数的超越性

这里把《函数的复合，函数加减乘除等二元作用》看成了一个群--是无限群。某些积分可以有初等函数在群混合作用下表出。

10.线性相关性

由行列式=0来判别。

11.函数相关性

由jocabian=0判别。本质是函数换元有它的宿命。两个函数一旦函数相关，那么怎么改变形式他们的零点都有公共的了。

12.离散几何的不变量--格的不变量

格有周期性。格点上面可以建立母函数。建立一些好的级数和模形式之类的母函数，都可反映出格本身的周期性质。

13.图论的不变量

联通与否，可否一笔画，太多了。

-------

总之，哪里有数学手段折腾，哪里就有不变量（不需要对称性）。哪里的不变量研究完了，那里的数学也就研究差不多了。研究不变量本身，就是在研究事物的特征，宇宙运转的规律。这不仅是在研究数学呀，这才是在定义数学。告诉人们哪是真正的数学---而哪些只不过大声叫嚣虚张声势骗取经费把人当傻瓜。