最简理解梯度下降法，寻找高度场距离最近的一点（Unity）

起

    有一高度场z=H(x,y)：

现在对于空间中任意一点target，想要知道高度场中距离target最近的点的距离（不必完全精确）。

直接解析求解太麻烦（或者不可求），使用固定步长Trace又太慢，需要一个折中的办法。使用梯度下降法：

承

    设高度场上一点pnt(x,y,H(x,y)), 而target(m,n,o)。要使两者距离最小。即求目标函数：

关于x,y的最小值，其梯度方向为(偏x,偏y)：

这样，从target点开始，求得梯度后，往负梯度方向慢慢step，就能得到函数极小值（不保证全局最优），也就是距离target最近的点。

转

    我的高度场具体解析式是一个经典的带方向Cos函数组成的Octave Noise，或者称为FBM。由于FBM的组成是累加的，所以对H(x,y)求值和求导都很方便，不再赘述。

合

    Unity里可以很快很方便地验证正确性。尽管脱离不了梯度下降（GD）的一贯缺点，不过大部分情况下可用。之后试一下GD得到的距离之后减去一个小值，用来SDFTrace它的可行性。

补图：

（直接用高度场差进行SDFTrace,对于过高，过复杂地形是不对，不可接受的）