关于《三门问题》的多角度分析和蒙特卡洛模拟
Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch your choice?
上述内容摘自维基百科，大意为 假设你在参加一个游戏，该游戏有三扇门
其中一扇门后面为汽车，另外两扇门后面都是羊
胜利的条件为选中有汽车的门
当你进行了选择时，预先知道后面有什么的主持人会打开一个错误的门，而后问你“是否选择更换的门”
基于以上三个前提条件，延伸出来一个问题，玩家是否应该需要进行“换门”操作。
理论支持
考虑到当随意调换羊和门的位置时，概率不会发生变化，所以默认一号门和二号门都是羊，而三号门是车
可以看到， 没有交换门赢的总概率是 1/3 , 交换门赢的总概率是2/3
贝叶斯公式
首先，贝叶斯公式的重点是，两者并不是独立事件，这里引用一下上面的图。当主持人操作打开门为前提条件下的概率公式
由来表示事件Event，i的序号标明车在哪个门后面
由来表示玩家Play，j的序号标明玩家选择了几号门
由来表示主持人Host, k的序号表明了主持人选择打开几号门
基于上述内容，可以简单得出一些常数
车在1，选择1，主持人打开3的概率是1/2
车在2，选择1，主持人打开3的概率是1(由于主持人一定会打开不是车的门，所以概率为1）
车在3，选择1，主持人打开3的概率是0(由于主持人一定会打开不是车的门，所以概率为0）
每一个Event发生的概率都为1/3
事件E和玩家的选择X互相独立，因此当“车在i门且玩家选择了j门”的概率为“车在i门”和“玩家选择j门”的概率乘积
这个表达式说明，当主持人开启3号门后，玩家会选择每扇门的概率都为1/2，由于不依赖事件E，自然只剩下两个门可以选择了。 特别的表明，由于主持人总是会打开错误的门，所以在“主持人打开3号门下” 条件成立时 “玩家打开3号门” 的概率为 0
考虑其中一种情况，当汽车在2号门后时，主持人打开了3号门且玩家打开了1号门的概率为
蒙特卡洛模拟
如果觉得概率论和图标风格反常识，反直觉，或者和事实不符，那我们使用最暴力的方式，用大量的频率来模拟概率。
模拟十次
1.
在不更换选择的情况下，获胜次数为 333176 ，获胜概率为 33.32%
在更换选择的情况下，获胜次数为 666824 ，获胜概率为 66.68%
2.
在不更换选择的情况下，获胜次数为 333313 ，获胜概率为 33.33%
在更换选择的情况下，获胜次数为 666687 ，获胜概率为 66.67%
3.
在不更换选择的情况下，获胜次数为 333672 ，获胜概率为 33.37%
在更换选择的情况下，获胜次数为 666328 ，获胜概率为 66.63%
4.
在不更换选择的情况下，获胜次数为 333464 ，获胜概率为 33.35%
在更换选择的情况下，获胜次数为 666536 ，获胜概率为 66.65%
5.
在不更换选择的情况下，获胜次数为 333311 ，获胜概率为 33.33%
在更换选择的情况下，获胜次数为 666689 ，获胜概率为 66.67%
6.
在不更换选择的情况下，获胜次数为 333325 ，获胜概率为 33.33%
在更换选择的情况下，获胜次数为 666675 ，获胜概率为 66.67%
7.
在不更换选择的情况下，获胜次数为 333207 ，获胜概率为 33.32%
在更换选择的情况下，获胜次数为 666793 ，获胜概率为 66.68%
8.
在不更换选择的情况下，获胜次数为 333942 ，获胜概率为 33.39%
在更换选择的情况下，获胜次数为 666058 ，获胜概率为 66.61%
9.
在不更换选择的情况下，获胜次数为 333874 ，获胜概率为 33.39%
在更换选择的情况下，获胜次数为 666126 ，获胜概率为 66.61%
10.
在不更换选择的情况下，获胜次数为 333337 ，获胜概率为 33.33%
在更换选择的情况下，获胜次数为 666663 ，获胜概率为 66.67%
总结
无论用什么方法，都能得出换门的总概率2/3是大于不换的概率1/3的
