【后日谈】2023浙江大学强基数学逐题解析·补充

2023-07-06 21:52 作者:CHN_ZCY 0人读过 | 我要投稿

封面：《转生王女和天才千金的魔法革命》

2023浙江大学强基数学逐题解析各期如下：

因篇幅限制，此前的一些题目的思维过程较为简略.

本文对这些题目进行补充.

第2期

【题3】

本题对集合中元素的状态进行分析即可，最后变为数论问题.

除了文章中给出的版本，该题网络流传的上还有另一版本，如下： $A%20%5Ccup%20B%20%5Ccup%20C%3D%5Cleft%5C%7B1%2C2%2C%5Ccdots%2C20230612%5Cright%5C%7D$ ， $A%20%5Ccap%20%20B%20%5Ccap%20C%3D%5Cvarnothing$ ，设满足条件的有序集合组 $%5Cleft(A%2CB%2CC%5Cright)$ 的个数为 $n$ ，则十进制下 $n$ 的最后2位数为___________.

答案 36

解析

$n%3D6%5E%7B20230612%7D$

由于

$6%5E7%5Cequiv6%5E2%5Cequiv36%5Cpmod%7B100%7D$

所以对任意 $k%5Cgeq2%2Ck%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D$

$6%5E%7Bk%2B5%7D%5Cequiv6%5E%7Bk%7D%5Cpmod%7B100%7D$

因此

$n%3D6%5E%7B20230612%7D%5Cequiv6%5E2%5Cequiv36%5Cpmod%7B100%7D$

所以十进制下 $n$ 的最后2位数为36.

原文中的题目也可利用周期性解答.

在原文中的题目中，

$n%3D6%5E%7B2023%7D$

从而

$n%3D6%5E%7B2023%7D%5Cequiv6%5E3%5Cequiv16%5Cpmod%7B100%7D$

所以十进制下 $n$ 的最后2位数为16.

这和利用中国剩余定理得到的结论是一样的.

第5期

【题12】

本题具有明显的分析学背景.

对于选项A，我们可写出映射 $f$ 的严格形式.

记 $r_n$ （未化简）的分子与分母之和为 $k_n%5Cleft(k_n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Cright)$ ，则

$%5Cfrac%7B%5Cleft(k_n-1%5Cright)%5Cleft(k_n-2%5Cright)%7D%7B2%7D%2B1%5Cleq%20n%20%5Cleq%20%5Cfrac%7Bk_n%5Cleft(k_n-1%5Cright)%7D%7B2%7D%5Cleft(n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Cright)$

得

$%5Cfrac%7B1%2B%5Csqrt%7B8n%2B1%7D%7D%7B2%7D%5Cleq%20k_n%20%5Cleq%20%5Cfrac%7B3%2B%5Csqrt%7B8n-7%7D%7D%7B2%7D%5Cleft(n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Cright)$

由于对任意 $n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*$ ，

$%5Cfrac%7B3%2B%5Csqrt%7B8n-7%7D%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B1%2B%5Csqrt%7B8n%2B1%7D%7D%7B2%7D%3D1-%5Cfrac%7B4%7D%7B%5Csqrt%7B8n%2B1%7D%2B%5Csqrt%7B8n-7%7D%7D%5Cin%5Cleft%5B0%2C1%5Cright)$

并且 $k_n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*$ ，因此

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0Ak_n%26%3D%5Clfloor%20%5Cfrac%7B3%2B%5Csqrt%7B8n-7%7D%7D%7B2%7D%20%5Crfloor%5C%5C%26%3D%5Clfloor%20%5Cfrac%7B1%2B%5Csqrt%7B8n-7%7D%7D%7B2%7D%20%5Crfloor%2B1%5Cleft(n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Cright)%0A%5Cend%7Baligned%7D$

所以

$r_n%3D%5Cfrac%7B-n%2B1%2B%5Cfrac%7Bk_n%5Cleft(k_n-1%5Cright)%7D%7B2%7D%7D%7Bn-%5Cfrac%7B%5Cleft(k_n-1%5Cright)%5Cleft(k_n-2%5Cright)%7D%7B2%7D%7D%5Cleft(n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Cright)$

$a_n%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%0A1%2Cn%3D1%5C%5C%0A%5Cmin%5Cleft%5C%7Bx%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Cvert%20x%3Ea_%7Bn-1%7D%E4%B8%94%5Cleft(-n%2B1%2B%5Cfrac%7Bk_n%5Cleft(k_n-1%5Cright)%7D%7B2%7D%2Cn-%5Cfrac%7B%5Cleft(k_n-1%5Cright)%5Cleft(k_n-2%5Cright)%7D%7B2%7D%5Cright)%3D1%5Cright%5C%7D%0A%5Cend%7Bcases%7D$

$f%3A%5Cmathbb%7BN%7D%20%5Crightarrow%20%5Cmathbb%7BQ%7D$ 满足

$f%5Cleft(n%5Cright)%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%0A0%2Cn%3D0%5C%5C%0A%0A-a_%7Br_%7B%5Cfrac%7Bn%2B1%7D%7B2%7D%7D%7D%2Cn%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E5%A5%87%E6%95%B0%5C%5C%0A%0Aa_%7Br_%7B%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%7D%7D%7D%2Cn%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E5%81%B6%E6%95%B0%0A%0A%5Cend%7Bcases%7D$

展开后即得映射 $f$ 的解析式.

对于选项B，采用的是反证法.

我们假设 $%5Cmathbb%7BR%7D$ 与 $%5Cmathbb%7BN%7D$ 间存在双射，然后构造一个递推的过程.

这个递推的过程有各种可能，无论是何种情况，其可行性都由引理1和引理2保证，且必将得到后续的结论，从而推出矛盾，说明假设是不成立的，因此 $%5Cmathbb%7BR%7D$ 与 $%5Cmathbb%7BN%7D$ 间不存在双射.

在此，我们可以思考一个问题.

思考如果将该论证过程的 $%5Cmathbb%7BR%7D$ 换为 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ ，会发生什么？

将 $%5Cmathbb%7BR%7D$ 换为 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ ，有一个地方会发生变化：我们无法说明 $s$ 为有理数.

（从结果来看，我们可以知道 $s$ 一定是无理数，否则就会得到 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ 与 $%5Cmathbb%7BN%7D$ 间不存在双射的错误结论）

这正是有理数域与实数域的不同之处之一.

实数序列的极限必然是实数，但有理数序列的极限不一定是有理数.

就算在 $%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%20a_n%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%20b_n$ 的条件下，我们也无法说明 $s$ 为有理数.

例如下面2个序列

$a_n%3D%5Cfrac%7B%5Clfloor%5Csqrt%7B2%7D%5Ccdot10%5E%7Bn%7D%5Crfloor%7D%7B10%5E%7Bn%7D%7D%5Cleft(n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5Cright)$

$b_n%3D%5Cfrac%7B%5Clceil%5Csqrt%7B2%7D%5Ccdot10%5E%7Bn%7D%5Crceil%7D%7B10%5E%7Bn%7D%7D%5Cleft(n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5Cright)$

为使表述更形象，我们写出它们的几项（ $n$ 从0开始）：

$a_n%3A%201%2C1.4%2C1.414%2C1%2C4142%2C%5Ccdots$

$b_n%3A%202%2C1.5%2C1.415%2C1%2C4143%2C%5Ccdots$

这2个序列都是有理数序列，但它们的极限 $%5Csqrt%7B2%7D$ 为无理数.

实际上，对于任意无理数，都存在某有理数序列的极限是该无理数，因此由有理数组成的柯西序列常用于定义无理数.

收敛的实数序列的极限一定是实数，即实数域是完备的.

Remark. 本题解析在最初为表述简洁采用了“等势”的概念，后为方便读者理解，改回了“存在双射”的表述. 两个集合等势的充分必要条件是这两个集合间存在双射.

【题13】

对于复数

$z_1%3Da_1%2Bb_1%5Cmathrm%7Bi%7D$

$z_2%3Da_2%2Bb_2%5Cmathrm%7Bi%7D$

$z_1%3Dz_2$ 的充分必要条件是

$a_1%3Da_2%E4%B8%94b_1%3Db_2$

对于复数

$z_1%3Dr_1%5Cleft(%5Ccos%5Ctheta_1%2B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Csin%5Ctheta_1%5Cright)$

$z_2%3Dr_2%5Cleft(%5Ccos%5Ctheta_2%2B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Csin%5Ctheta_2%5Cright)$

$z_1%3Dz_2$ 的充分必要条件是

$r_1%5Ccos%5Ctheta_1%3Dr_2%5Ccos%5Ctheta_2%E4%B8%94r_1%5Csin%5Ctheta_1%3Dr_2%5Csin%5Ctheta_2$

即

$%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ar_1%3Dr_2%5C%5C%0A%5Ctheta_1%3D%5Ctheta_2%2B2k%5Cpi%5Cleft(k%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cright)%0A%5Cend%7Bcases%7D%0A%E6%88%96%0A%5Cbegin%7Bcases%7D%0A-r_1%3Dr_2%5C%5C%0A%5Ctheta_1%2B%5Cpi%3D%5Ctheta_2%2B2k%5Cpi%5Cleft(k%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cright)%0A%5Cend%7Bcases%7D$

（也有其它的等价形式）

本题难度不高，注意不要漏解即可.

第6期

【题17】

我们对本题中阶的结论进行证明.

记 $%5Cdelta_%7Bp%7D%5Cleft(n%5Cright)%5Cleft(n%2Cp%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Cright)$ 为使得

$n%5E%7Bk%7D%20%5Cequiv%201%20%5Cpmod%20%7Bp%7D$

成立的最小正整数 $k$ .

$%5Cdelta_%7Bp%7D%5Cleft(n%5Cright)$ 称为 $n$ 模 $p$ 的阶.

给出几个定理：

定理1 若 $n%2Cp%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*$ ， $%5Cdelta_%7Bp%7D%5Cleft(n%5Cright)$ 存在，则对任意

$1%5Cleq%20i%5Cleq%20%5Cdelta_p%5Cleft(n%5Cright)%E4%B8%94i%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*$

$1%5Cleq%20j%5Cleq%20%5Cdelta_p%5Cleft(n%5Cright)%E4%B8%94j%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*$

$i%5Cneq%20j$

$n%5Ei$ 与 $n%5Ej$ 在模 $p$ 下不同余.

证明假设存在

$1%5Cleq%20i%5Cleq%20%5Cdelta_p%5Cleft(n%5Cright)%E4%B8%94i%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*$

$1%5Cleq%20j%5Cleq%20%5Cdelta_p%5Cleft(n%5Cright)%E4%B8%94j%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*$

$i%5Cneq%20j$

使得 $n%5Ei$ 与 $n%5Ej$ 在模 $p$ 下同余.

则

$n%5E%7B%5Cleft%7Ci-j%5Cright%7C%7D%5Cequiv1%5Cpmod%20p$

而 $0%3C%5Cleft%7Ci-j%5Cright%7C%5Cleq%5Cdelta_p%5Cleft(n%5Cright)-1%3C%5Cdelta_p%5Cleft(n%5Cright)$ ，这与阶的定义矛盾.

所以假设不成立，定理得证.

定理2 若 $n%2Cp%2Cm%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*$ ， $%5Cdelta_%7Bp%7D%5Cleft(n%5Cright)$ 存在， $%5Cdelta_%7Bp%7D%5Cleft(n%5Cright)%20%5Cmid%20m$ ，则

$n%5E%7Bm%7D%20%5Cequiv%201%20%5Cpmod%20%7Bp%7D$

证明

$n%5E%7Bm%7D%20%3D%20%5Cleft(n%5E%7B%5Cdelta_p%5Cleft(n%5Cright)%7D%5Cright)%5E%5Cfrac%7Bm%7D%7B%5Cdelta_p%5Cleft(n%5Cright)%7D%5Cequiv1%20%5Cpmod%20%7Bp%7D$

定理得证.

定理3 若 $n%2Cp%2Cm%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*$ ， $n%5E%7Bm%7D%20%5Cequiv%201%20%5Cpmod%20%7Bp%7D$ ，则

$%5Cdelta_%7Bp%7D%5Cleft(n%5Cright)%20%5Cmid%20m$

证明由于

$n%5E%7Bm%7D%20%5Cequiv%201%20%5Cpmod%20%7Bp%7D$

所以 $%5Cdelta_%7Bp%7D%5Cleft(n%5Cright)$ 存在.

设

$m%3Dt%5Cdelta_%7Bp%7D%5Cleft(n%5Cright)%2Br%5Cleft(t%2Cr%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%2C0%5Cleq%20r%3C%20%5Cdelta_%7Bp%7D%5Cleft(n%5Cright)%2Cm%3E0%5Cright)$

于是

$n%5Em%3Dn%5E%7Bt%5Cdelta_p%5Cleft(n%5Cright)%2Br%7D%5Cequiv%20n%5Er$

所以

$n%5Er%5Cequiv%20n%5Em%20%5Cequiv%201%5Cpmod%7Bp%7D$

由定理1得

$r%3D0$

所以

$%5Cdelta_%7Bp%7D%5Cleft(n%5Cright)%20%5Cmid%20m$

定理得证.

第8期

【题23】

本题中，如果设 $b_m$ 为符合性质 $A$ 的格点正六边形的数量，则

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0Ab_m%26%3D%20%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Em%20%5Cleft%5B3k%5E2-%5Cleft(6m%2B3%5Cright)k%2B3m%5E2%2B3m%2B1%5Cright%5D%5C%5C%26%0A%3D3%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bm%5Cleft(m%2B1%5Cright)%5Cleft(2m%2B1%5Cright)%7D%7B6%7D-%5Cleft(6m%2B3%5Cright)%5Ccdot%5Cfrac%7Bm%5Cleft(m%2B1%5Cright)%7D%7B2%7D%2B%5Cleft(3m%5E2%2B3m%2B1%5Cright)m%5C%5C%26%0A%3Dm%5E3%0A%5Cend%7Baligned%7D$

一个值得注意的地方是

$a_m%3D%5Cfrac%7Bm%5E2%5Cleft(m%2B1%5Cright)%5E2%7D%7B4%7D%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Em%20b_i%20$

不知道这是巧合还是有内在的规律，此处有待继续探究.

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