第五章 定积分 总结

• 第一节 定积分的概念与性质

○ 定积分的定义

设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中插入若干个分点

a=x0<x1<...<xn=b

把区间[a,b]分成n个小区间，在每个小区间上任取一点t，作函数值与小区间长度的乘积并作出和

S=Σf(t)∆xi

记Lambada=max{∆x1,...,∆xn}

如果当Lambda趋于0时，这和的极限总存在且与分法与取法无关，则称这个极限 I 为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分（简称积分）记作

∫(b,a)f(x)dx，即

∫(b,a)f(x)dx= I =limΣf(t)∆xi

极限存在时 I 仅与[a,b]有关

○ 定理1  设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

○ 定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则可积。

○ 面积估计方法（矩形法，梯形法，抛物线法（又称Simpson法））

○ b = a, ∫(b,a)f(x)dx = 0;

∫(b,a)f(x)dx = -∫(a,b)f(x)dx

○ 性质：

§ c, d为常数, ∫(b,a)[cf(x) + dg(x)]dx = c∫(b,a)f(x)dx + d∫(b,a)g(x)dx

§ a<c<b,

∫(b,a)f(x)dx = ∫(b,c)f(x)dx + ∫(c,a)f(x)dx

§ 如果区间[a,b]上f(x)=1 

∫(b,a)f(x) = b-c

§ 若在某区间f(x)>0, 则在该区间的积分也大于零

§ m(b-a)<=∫(b,a)f(x)dx<=M(b-a)

§ ∫(b,a)f(x)dx = f(t)(b-a) (a<= t<=b)

• 第二节 微积分基本公式

○ ∫(b,a)f(x)dx = F(b) -F(a)（N-L公式）

• 第三节 定积分的换元发和分部积分法

○ 与不定积分基本类似

• 第四节 反常积分

○ 无限的反常积分

§ 定义 ：上下限有一为无穷大即为无限的反常积分

§ 计算：求极限，若极限存在，即用极限代替该 上/下 限的值计算，若不存在即称该积分发散

○ 无界的反常积分（瑕积分）

§ 用瑕点处的积分的极限代替瑕点计算，若极限不存在，即为发散

• 第五节 反常积分的审敛法 伽马函数(Gramma function)