一个跟电路有关的不等式

2023-03-11 17:20 作者:求导宗师的线性空间 0人读过 | 我要投稿

大家好！

先来看这样一个不等式：

$%5Ccolor%7Bblue%7D%7B(a%2Bb)(c%2Bd)(a%2Bc)(b%2Bd)%5Cgeq%20(abc%2Babd%2Bacd%2Bbcd)(a%2Bb%2Bc%2Bd)%7D$

其中 $a%2Cb%2Cc%2Cd%5Cin%20R%5E%7B%2B%7D$

（当然也可以是负的，只不过我们不讨论）

这个不等式想证也挺容易，两边展开，一共有 $32$ 项，有 $28$ 项约掉，只要证：

$a%5E2d%5E2%2Bb%5E2c%5E2%5Cgeq%202abcd$

这就是一个均值不等式

取等条件为 $%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Bd%7D$

我们再来看这样一个电路：

你可以试着算出这个电路的总电阻

$R%3D%5Cfrac%7BR_%7B5%7D(R_%7B1%7D%2BR_%7B3%7D)(R_%7B2%7D%2BR_%7B4%7D)%2B(R_%7B1%7DR_%7B2%7DR_%7B3%7D%2BR_%7B1%7DR_%7B2%7DR_%7B4%7D%2BR_%7B1%7DR_%7B3%7DR_%7B4%7D%2BR_%7B2%7DR_%7B3%7DR_%7B4%7D)%7D%7BR_%7B5%7D(R_%7B1%7D%2BR_%7B2%7D%2BR_%7B3%7D%2BR_%7B4%7D)%2B(R_%7B1%7D%2BR_%7B2%7D)(R_%7B3%7D%2BR_%7B4%7D)%7D$

这个式子可以看作是关于 $R_%7B5%7D$ 的函数

形式如 $f(t)%3D%5Cfrac%7BAt%2BB%7D%7BCt%2BD%7D$

在电路中，任意一个电阻增大，则总电阻也会增大，于是 $f(t)$ 应为递增函数

即 $%5Cfrac%7BA%7D%7BC%7D%5Cgeq%20%5Cfrac%7BB%7D%7BD%7D$ ，代入系数整理得：

$%5Cfrac%7B(R_%7B1%7D%2BR_%7B3%7D)(R_%7B2%7D%2BR_%7B4%7D)%7D%7BR_%7B1%7D%2BR_%7B2%7D%2BR_%7B3%7D%2BR_%7B4%7D%7D%20%5Cgeq%20%5Cfrac%7BR_%7B1%7DR_%7B2%7DR_%7B3%7D%2BR_%7B1%7DR_%7B2%7DR_%7B4%7D%2BR_%7B1%7DR_%7B3%7DR_%7B4%7D%2BR_%7B2%7DR_%7B3%7DR_%7B4%7D%7D%7B(R_%7B1%7D%2BR_%7B2%7D)(R_%7B3%7D%2BR_%7B4%7D)%7D$