【零基础学经济Ep61】查漏补缺——数学基础（三：史老师视频微分方程）+经济概念梳理

整理史济怀老师视频课中关于常微分方程的内容，然后继续“效用论”。

part 1 史济怀老师视频课微分方程部分

上次聊了常微分方程的基本概念，后面的思路和一般常微分教材或者高等数学的思路大同小异，先聊几种相对简单的微分方程类型，我们之前大多都接触过，不过例题多一些，我们可以当做复习。新的内容会作标记。

&2.一阶微分方程

一阶微分方程——形如F（x，y，y'）=0的关系式——y为未知函数，x为自变量，含有y的一阶导数的方程。

&2.1分离变量的方程

分离变量的方程——形如dy/dx=f（x）=φ（x）/ψ（y）关系式。

方法——

1. 移项：φ（x）dx=ψ（y）dy；

2. 积分：∫φ（x）dx=∫ψ（y）dy。

例1：求微分方程（x^2）ydy+（1-y^2）^（1/2）dx=0 。

解——

1. 移项：（x^2）ydy=-（1-y^2）^（1/2）dx；

2. 将x和y放到一边：-ydy/（1-y^2）^（1/2）=dx/（x^2）；

3. 积分：∫-ydy/（1-y^2）^（1/2）=∫dx/（x^2）；

4. 由求积分技巧解出两边的原函数：（1-y^2）^（1/2）=-1/x+c，c为任意常数。

5. 所以我们得出隐函数1/x+（1-y^2）^（1/2）=c是一个解，函数的定义域为x不为0，y的取值范围为[-1,1]；

6. 另外我们注意到，x=0，y=1或-1也是一个解。

例2：求向径与切线垂直的曲线方程。

向径——曲线上一点与坐标原点的连线。

解——

1. 列出曲线的参数方程，x=x（t），y=y（t）；

2. 由解析几何知识，向径的向量即为（x，y），曲线的切向量为（x'，y'）；

3. 由解析几何知识列出微分方程，xx'+yy'=0，即x（dx/dt）+y（dy/dt）=0，得到xdx+ydy=0；

4. 移项：xdx=-ydy；

5. 积分：∫xdx=∫-ydy；

6. 解得原函数为x^2/2=-y^2/2+c，即所求方程为x^2/2+y^2/2=c。

part 2 经济学概念——高鸿业

高鸿业《西方经济学》第三章：效用论——

第一节引入效用的概念——

效用——效用是指对商品满足人的欲望的能力评价，或者说，效用是指消费者在消费商品时，所感受到的满意程度。——一种主观心理评价。

效用的度量——

1. 基数效用论：边际效用分析方法——“效用单位”：表示效用大小的计量单位。

2. 序数效用论：无差异曲线分析方法——效用不可以具体度量，只能排序。

消费者剩余——消费者剩余是消费者在购买一定数量的某种商品时愿意支付的最高总价格和实际支付的总价格之间的差额。

1.单个消费者剩余

反需求函数——P^d=f（Q）表示消费者对每一单位商品所愿意支付的最高价格。

P0——商品的市场价格。

Q0——消费者的购买量。

f（Q）从0到Q0关于Q的定积分——消费者为购买Q0数量的商品所愿意支付的最高总金额（即总价格）。

P0Q0——实际支付的总价格。

上述两者的差额即为消费者剩余。

数量关系——CS的值：f（Q）从0到Q0关于Q的定积分与P0Q0的差值——其中CS表示消费者剩余。

2.整个市场的消费者剩余——市场的消费者剩余可以用市场需求曲线以下、市场价格线以上的面积来表示。

意义——消费者剩余是消费者的主观心理评价，反映消费者通过购买和消费商品所感受到的状态的改善，因此，消费者剩余通常被用来度量和分析社会福利问题。

消费者剩余的变化：由图像——

1. 市场价格上升；

2. 需求量减少；

3. 三角形面积减小；

4. 价格上升使得消费者剩余减少了。

明天开始聊重要的“无差异曲线”，打算找课本的电子书了，不截图讲得太模糊了。