《数学与生活》--远山启，推荐中学生必读课外书

第一章 数的幼年期

1.3 一一对应

        英国的数理哲学家巴特兰多 •拉赛尔说：“要觉察到两天的 ‘2’ 和两只矮鸡的‘2’是同样的‘2’，需要有无限长的岁月。” 

        确实像拉赛尔说的那样，‘2’这个数对于两个鸡蛋、两条狗、两个人、两只鸟、两本书都是共同的，所以即使把两个鸡蛋换成两棵树，？还是有没有变化。

        像这样把一个一个的鸡蛋和一棵一棵的树联系起来就叫做一一对应，但即使一一对应起来，2还是不变的。

        我们利用一一对应而数不变的这件事，就想出一种用容易数的东西米替换不容易数的东西。

        据说丰豆秀吉为了数山上的树木，就在每棵树上系一根绳头儿，然后再数这些绳头儿。这就足把树的集合以一一对应的方法转换为绳头儿的集合，然后再数。

        另外，根据一位旅行家的手记，说在马达加斯加岛，为了数有多少士兵，让每一名士兵走过队长面的时，投下一粒石子，然后数那堆石子。这也是因为士兵的集合与小石子的集合是一一对应的，寿司店在顾客每吃一个寿司饭团时，就在柜台上粘一个饭粒，以此来数吃过的寿司饭团数，这也是利用了一一对应而数不变的原则。

1.4 分割而不变

        和把蛋换成完全不相同的树不一样，我们知道“把某个集合分成两个部分或更多时，其总数仍不变”，这是知道数的第二个条件。这是因为把装在一个容器里的玻璃球移到形状不同的另一个容器中时，其数目是不变的。

        即使再分到两个容器里，总数还是不变的。这也是皮亚杰的实验，四五岁左右的孩子好像不明白虽然分割而数不变的原则。让五岁半的孩子把一个容器里装的玻璃球分装到两个容器时，孩子说玻璃球比原来多了。这大概是因为孩子被两个容器迷惑了。

        据说，开始知道不论分割还是合并，玻璃球的总数是不变这件事，是在孩子6 岁到7岁左右。

        第三个条件是 “即使改变计数的顺序，数也不变”。

        盘子里放着玻璃球，不论以什么顺序来数，答案都是一样的。7个人的家庭，按年龄顺序从祖父、父、母•⋯数起是7个人，从最小的孩子开始数也是7个人。世就是说，不论怎样政变计数顺序，数是相同的。

        据说很小的孩子也不知道这一点。把两种东西的集合按照某种顺序一一对应时，要是把其中一种集合的顺序打乱，孩子就会奇怪为什么数还是一样的。

        下面这种抽签方法就是利用了这一事实。这个抽签是给 A, B, C,D四个人标上 1，2，3，4号。首先在A，B,C，D与1,2,3,4之间各连一条直线。在直线之间随意画上一些横线

        预先规定好，碰到横线和竖线的交点就必须向下或向左在拐弯。A 和B之间画一条横线就改变了A和B的顺序。横线虽然起到交换两个文字的作用，可是字母的总数绝不会变，所以用不着担心从 A出发的人没有地方可去。4这个数不会因顺序的交替而变化。当然这不仅是 4，100 也好，1000 也好，都是同样的。

        这样用一一对应来替换、分割或改变顺序而不变的东西就是数。