2023新高考Ⅰ卷数学逐题解析（4）

2023-06-15 14:55 作者:CHN_ZCY 0人读过 | 我要投稿

封面：秋晴れ

作画：jimmy

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14. 在正四棱台 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中， $AB%3D2$ ， $A_1B_1%3D1$ ， $AA_1%3D%5Csqrt%7B2%7D$ ，则该棱台的体积为___________.

答案 $%5Cfrac%20%7B7%5Csqrt%7B6%7D%7D%20%7B6%7D$

解析本题考察棱台体积的计算，属于简单题.

延长 $AA_1$ ， $BB_1$ ， $CC_1$ ， $DD_1$ 交于点 $P$ .

过点 $P$ 作 $PH%20%5Cbot%20%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABCD$ 于点 $H$ .

$PA%3D%5Cfrac%20%7BAB%7D%20%7BAB-A_1B_1%7D%20AA_1%3D2%5Csqrt%7B2%7D$ ， $AH%3D%5Cfrac%20%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%20%7B2%7DAB%3D%5Csqrt%7B2%7D$ .

$PH%3D%5Csqrt%7BPA%5E2-PH%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B6%7D$ .

$V_%7B%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E5%8F%B0ABCD-A_1B_1C_1D_1%7D%3D%5Cleft%5B1-%5Cleft(%5Cfrac%20%7BA_1B_1%7D%20%7BAB%7D%20%5Cright)%5E3%20%5Cright%5DV_%7B%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E9%94%A5P-ABCD%7D%3D%5Cfrac%20%7B7%7D%20%7B8%7D%20V_%7B%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E9%94%A5P-ABCD%7D%3D%5Cfrac%20%7B7%7D%20%7B8%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7B3%7D%20%5Ccdot%202%5E2%20%5Ccdot%20%5Csqrt%7B6%7D%20%3D%20%5Cfrac%20%7B7%5Csqrt%7B6%7D%7D%20%7B6%7D$

Remark. 本题也可利用棱台体积公式 $V%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleft(S_1%2B%5Csqrt%7BS_1S_2%7D%2BS_2%5Cright)h$ 求解.

15. 已知函数 $f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Ccos%7B%5Comega%20x%7D-1$ $%5Cleft(%5Comega%20%3E0%20%5Cright)$ 在区间 $%5Cleft%5B0%2C2%5Cpi%5Cright%5D$ 有且仅有 $3$ 个零点，则 $%5Comega$ 的取值范围是___________.

答案 $%5Cleft%5B2%2C3%5Cright)$

解析本题考察三角函数的零点与周期问题，属于简单题.

由 $f%5Cleft(x%5Cright)$ 在区间 $%5Cleft%5B0%2C2%5Cpi%5Cright%5D$ 有且仅有 $3$ 个零点，得 $%5Cfrac%7B4%5Cpi%7D%7B%5Comega%7D%5Cleq2%5Cpi%3C%5Cfrac%7B6%5Cpi%7D%7B%5Comega%7D$ ，即 $2%5Cleq%5Comega%3C3$ .

所以 $%5Comega$ 的取值范围是 $%5Cleft%5B2%2C3%5Cright)$ .

16. 已知双曲线 $C%3A%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ $%5Cleft(a%3E0%2Cb%3E0%5Cright)$ 的左、右焦点分别为 $F_1$ ， $F_2$ . 点 $A$ 在 $C$ 上，点 $B$ 在 $y$ 轴上， $%5Coverrightarrow%7BF_1A%7D%5Cbot%5Coverrightarrow%7BF_1B%7D$ ， $%5Coverrightarrow%7BF_2A%7D%3D-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Coverrightarrow%7BF_2B%7D$ ，则 $C$ 的离心率为‍___________.

答案 $%5Cfrac%7B3%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D$

解析本题考察双曲线的定义和性质，属于中档题.

设 $A%5Cleft(x_0%2Cy_0%5Cright)$ ， $B%5Cleft(0%2Cy_1%5Cright)$ .

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%0Ac%5Cleft(x_0%2Bc%5Cright)%2By_0y_1%3D0%5C%5C%0Ax_0-c%3D-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cleft(-c%5Cright)%5C%5C%0Ay_0%3D-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dy_1%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%5Cright.$ ，解得 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%0Ax_0%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7Dc%5C%5C%0A%5Cvert%20y_0%20%5Cvert%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7Dc%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%5Cright.$ .

所以 $%5Cvert%20F_1A%20%5Cvert%3D%5Cfrac%7B4%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B3%7Dc$ ， $%5Cvert%20F_2A%20%5Cvert%20%3D%20%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B3%7Dc$ ，

$2a%3D%5Cvert%20%5Cvert%20F_1A%20%5Cvert%20-%20%5Cvert%20F_2B%20%5Cvert%20%5Cvert%20%3D%20%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B3%7Dc$ ，得 $e%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%3D%5Cfrac%7B3%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D$ .

四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 已知在 $%5Ctriangle%20ABC$ 中， $A%2BB%3D3C$ ， $2%5Csin%20%5Cleft(%20A-C%20%5Cright)%20%3D%20%5Csin%20B$ .

（1）求 $%5Csin%20A$ ；

（2）设 $AB%3D5$ ，求 $AB$ 边上的高.

答案（1） $%5Cfrac%7B3%5Csqrt%7B10%7D%7D%7B10%7D$ ；

（2）6.

解析考察三角函数与解三角形，属于中档题.

（1）由 $3C%3DA%2BB%3D%5Cpi-C$ 得 $C%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D$ ，于是

$2%5Csin%20%5Cleft(%20A-C%20%5Cright)%3D2%5Csin%20%5Cleft(%20A-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%20%5Cright)%3D%5Csin%20B%3D%5Csin%20%5Cleft(%20A%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%20%5Cright)$

得

$%5Csqrt%7B2%7D%20%5Csin%20A%20-%20%5Csqrt%7B2%7D%20%5Ccos%20A%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%5Csin%20A%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%5Ccos%20A$

所以 $%5Ccos%20A%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%5Csin%20A$ .

于是

$1%3D%5Csin%5E2A%2B%5Ccos%5E2A%3D%5Cfrac%7B10%7D%7B9%7D%5Csin%5E2A$

解得 $%5Csin%20A%3D%5Cfrac%7B3%5Csqrt%7B10%7D%7D%7B10%7D%20%E6%88%96%20-%5Cfrac%7B3%5Csqrt%7B10%7D%7D%7B10%7D$ .

由于 $0%3CA%3C%5Cpi$ ，所以 $%5Csin%20A%3E0$ ，所以 $%5Csin%20A%3D%5Cfrac%7B3%5Csqrt%7B10%7D%7D%7B10%7D$ .

（2） $%5Ctan%20A%3D3$ ，所以 $%5Ctan%20B%3D%20-%20%5Ctan%20%5Cleft(%20A%20%2B%20C%20%5Cright)%20%3D%20-%20%5Cfrac%20%7B%5Ctan%20A%20%2B%20%5Ctan%20C%7D%20%7B1-%5Ctan%20A%20%5Ctan%20C%7D%3D2$ .